Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 5 mP₁ = 15 kN у 2 mP₂ = 25 kN у 2,5 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 3 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 0,5 m від A і рівномірно розподіленим навантаженням w від 1,5 m до вільного кінця в 4 m. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 3 mAC = 4 mP = 75 kN у 0,5 mw = 5 kN/m від 1,5 до 4 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

C: 15 kN ↓D: 25 kN ↓G: 30 kN ↓H: 40 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 30 kNгоризонтальне навантаження = 25 kN →

F_BC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Консоль защемлена в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 0,5 m від A. Знайдіть згинальний момент M_A у защемленні A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 3 mP = 35 kN у 0,5 mw = 8 kN/m від 0 до 3 m

M_A = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP = 35 kN у 5 mw = 10 kN/m від 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 0,5 m від A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 23 kNa = 0,5 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 5 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 5 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 100 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 40 kN·m

σ_низ = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 10 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 5 m має C_c = 0,2, C_r = 0,06 і e₀ = 0,75. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 120 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 1,5. Нова будівля додає 90 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 5 mC_c = 0,2C_r = 0,06e₀ = 0,75σ′₀ = 120 kPaOCR = 1,5Δσ = 90 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 2,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 1,2 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 70% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,403. За скільки років t шар досягне 70% консолідації?

H = 2,5 mc_v = 1,2 m²/рікU = 70%T_v = 0,403однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,1 m/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 50 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,1 m/sL = 50 mD = 50 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Поверхня води у верхньому резервуарі на 6 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 6 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (необроблений бетон) має ширину 2,5 m. Вода тече рівномірно з глибиною 0,9 m. n Маннінга = 0,014, ухил дна S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2,5 my = 0,9 mn = 0,014S = 0,004

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (оброблений бетон) з шириною по дну 1,5 m і закладанням укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 20 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,3 m. n Маннінга = 0,012. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 20 m³/sb = 1,5 my = 1,3 mz = 2n = 0,012

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 82% подає 30 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 56 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 30 L/sH = 56 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 16 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 78%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 16 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 78%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 7 років.

PV = €5 0002% / 12n = 7

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €200 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €200 0007,2% / 12N = 300

A = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €40 000, служить 6 років, а його експлуатація коштує €4 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €40 000M = €4 000n = 6r = 6%

EAC = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €5 000, €3 500, €7 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 000CF₂ = 3 500CF₃ = 7 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Яка частка значень лежить між 92,5 і 107,5 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 100σ = 15x₁ = 92,5x₂ = 107,5

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 18,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2 + 25·2,5

R_B = 92,5/5 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 18,5 = 21,5 kN

Відповідь

R_B = 18,5 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 63,54 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 5·2,5 = 12,5 kN, x̄ = (1,5 + 4)/2 = 2,75 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 75·0,5 + 12,5·2,75

R_B = 71,88/3 = 23,96 kN

R_A = 87,5 − 23,96 = 63,54 kN

Відповідь

R_A = 63,54 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 38,75 kN (T), BC: 38,75 kN (T), CD: 71,25 kN (T), DE: 71,25 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 54,8 kN (C), HE: 100,8 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 25 kN (T), FC: 54,8 kN (T), HC: 8,839 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: BF

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −36,77 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 30·1 + 25·4 → C_y = 26 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 26 = 4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26/0,7071 = −36,77 kN

Відповідь

F_BC = −36,77 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_A = −53,5 kN·m

Залиште частину з вільним кінцем

P: −35·0,5 = −17,5 kN·m

w: −8·3²/2 = −36 kN·m

M_A = −17,5 − 36 = −53,5 kN·m

Відповідь

M_A = −53,5 kN·m

Від’ємний момент означає, що розтягнута верхня грань.

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 64,2 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·5 + 10·6·3

R_B = 355/6 = 59,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 59,17 = 35,83 kN

Де V = 0?

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 35,83/10 = 3,583 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 35,83·3,583 − 10·3,583²/2 = 64,2 kN·m

Відповідь

M_max = 64,2 kN·m

Це в точці x = 3,583 m від A.

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 3,788 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 23000 N, a = 500 mm, L = 5000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa³/(3EI) = 23000·500³/(3·2,53 × 10¹¹) = 3,788 mm

Відповідь

δ_P = 3,788 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 9 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·200000·11,11) = 9 × 10⁶ mm⁴

I_req = 9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 9 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 158,8 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158,8 kN

Відповідь

P_cr = 158,8 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 44,67 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·5000 = 15000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 44,67 mm

Відповідь

d = 44,67 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 268,7, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 49,24 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·15 = 1500 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287,5 mm

стінка: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1500·287,5 + 3920·140)/5420 = 180,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·15³/12 + 1500·(287,5 − 180,8)² = 1,71 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·280³/12 + 3920·(140 − 180,8)² = 3,214 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,71 × 10⁷ + 3,214 × 10⁷ = 4,924 × 10⁷ mm⁴ = 49,24 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 49,24 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 142,8 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

стінка: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·275 + 3120·130)/11520 = 235,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·30³/12 + 8400·(275 − 235,7)² = 1,358 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·260³/12 + 3120·(130 − 235,7)² = 5,245 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,358 × 10⁷ + 5,245 × 10⁷ = 6,604 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 235,7 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·235,7/6,604 × 10⁷ = 142,8 MPa

Відповідь

σ_низ = 142,8 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 19,62 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Відповідь

u = 19,62 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 68,67 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Відповідь

u = 68,67 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 68,44 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·120 = 180 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 120 + 90 = 210 kPa > 180 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,06·5/(1 + 0,75)·log₁₀(180/120) + 0,2·5/(1 + 0,75)·log₁₀(210/180)

S = 30,19 + 38,26 = 68,44 mm

Відповідь

S = 68,44 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 2,099 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 2,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·2,5²/1,2 = 2,099 роки

Відповідь

t = 2,099 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 98,1 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·2 = 98,1 kN

Відповідь

F = 98,1 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,111 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3·3 = 77,7 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 1/(3·3) = 3,111 m

Відповідь

y_cp = 3,111 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 4,945 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,1²/(2·9,81) = 0,2248 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,05)·2,1²/(2·9,81) = 4,945 m

Відповідь

h_f = 4,945 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 88,64 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·400/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 + 1,0 = 12,1

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

6 = (24 + 12,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·6/36,1) = 1,806 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 1,806·0,04909 = 0,08864 m³/s = 88,64 L/s

Відповідь

Q = 88,64 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 6,6 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 2,5·0,9 = 2,25 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·0,9 = 4,3 m

R = A/P = 0,5233 m

Швидкість

V = (1/0,014)·0,5233^2/3·0,004^1/2 = 2,933 m/s

Витрата

Q = A·V = 2,25·2,933 = 6,6 m³/s

Відповідь

Q = 6,6 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,003092 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 2·1,3)·1,3 = 5,33 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,3·√(1 + 2²) = 7,314 m

R = A/P = 0,7288 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·20/(5,33·0,8098) = 0,0556

S = 0,0556² = 0,003092

Відповідь

S = 0,003092

Це зниження на 3,092 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 20,1 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·56 = 16,48 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 16,48/0,82 = 20,1 kW

Відповідь

P_shaft = 20,1 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 11,93 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 8)·0,1291 = 2,969 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 16 + 2,969 = 18,97 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·18,97/0,78 = 11,93 kW

Відповідь

P_shaft = 11,93 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 5751 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·7 = 84

Майбутня вартість

FV = 5 000·(1 + 0,001667)⁸⁴ = 5 000·1,15 = €5 750,70

Відповідь

FV = €5 750,70

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 1439 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·25 = 300

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,1662

A = 200 000·0,006/(1 − 0,1662) = €1 439,18

Відповідь

A = €1 439,18

27.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 12135 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,06⁻⁶)/0,06 = 4,917

Ціна придбання, перерахована на рік

40 000/4,917 = 8 134,51

EAC

EAC = 8 134,51 + 4 000 = €12 134,51

Відповідь

EAC = €12 134,51

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 23,87 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(20%) = 648,15

NPV(25%) = −176,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 20 + 5·648,15/(648,15 − (−176,00)) = 23,93%

точно: NPV(23,87%) = 0 → IRR = 23,87%

Відповідь

IRR = 23,87%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,3829

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5

z₂ = (107,5 − 100)/15 = 0,5

Площа між

P = Φ(0,5) − Φ(−0,5) = 0,6915 − 0,3085 = 0,3829

Відповідь

P = 0,3829

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7389

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Відповідь

P = 0,7389

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil