Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 2,5 m від A і зосередженим моментом M, що діє проти годинникової стрілки, на відстані 5 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 6 mP = 25 kN у 2,5 mM = 50 kN·m (проти годинникової стрілки) у 5 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 2 m від A під кутом 50° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 4,5 m від A. Знайдіть величину повної реакції R_A у шарнірі A.

L = 6 mP = 25 kN у 2 m, θ = 50°Q = 40 kN у 4,5 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 20 kN ↓C: 25 kN ↓G: 40 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

F: 10 kN ↓G: 10 kN ↓H: 30 kN ↓H: 40 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 5 m15 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 4 mw = 6 kN/m від 0 до 2 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 5 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 5 kNa = 5 mL = 8 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 5 mP = 20 kN у 2,5 m

R_B = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 40 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 40 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 250 mm і товщиною 24 mm, повну висоту 440 mm і стінку товщиною 10 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 250 mmH = 440 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 120 × 24 mm, стінку висотою 310 mm і товщиною 10 mm та нижню полицю 170 × 10 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 120 × 24 mmстінка: 10 × 310 mmнижня полиця: 170 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 7,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 3,5 m має C_c = 0,45, C_r = 0,02 і e₀ = 1,05. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 50 kPa і тиск попереднього ущільнення 120 kPa. Нова будівля додає 120 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 3,5 mC_c = 0,45C_r = 0,02e₀ = 1,05σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 120 kPaΔσ = 120 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 3,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 0,5 m²/year. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. Для 80% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,567. За скільки років t шар досягне 80% консолідації?

H = 3,5 mc_v = 0,5 m²/рікU = 80%T_v = 0,567двобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 12 L/s трубою довжиною 800 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 12 L/sL = 800 mD = 75 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,025. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 0,2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 450 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,0005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (гравій) шириною 3,5 m має пропускати 3,4 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,1 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 3,4 m³/sb = 3,5 my = 1,1 mn = 0,025

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 70% подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 78 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 15 L/sH = 78 mη = 70%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 15 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 82%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 75 L/sΔz = 15 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8η = 82%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €5 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 8 років.

PV = €5 0002% / 12n = 8

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €200 наприкінці кожного місяця протягом 14 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2002,4% / 12N = 168

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €18 000, €26 000, €37 000, €19 000. Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 18 000CF₂ = 26 000CF₃ = 37 000CF₄ = 19 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €20 000 приносить €5 000 наприкінці кожного року протягом 5 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €20 000CF = €5 000n = 5

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 250 g і середнім квадратичним відхиленням 4 g; Y незалежна й нормальна із середнім 500 g і середнім квадратичним відхиленням 9 g. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 762,3 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 762,3 g

P =

30.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 75% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів75%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 2,083 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 25·2,5 + 50 = 0

R_B = 12,5/6 = 2,083 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 25 − 2,083 = 22,92 kN

Відповідь

R_B = 2,083 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 27,87 kN

Складові P

P_v = 25·sin 50° = 19,15 kN

P_h = 25·cos 50° = 16,07 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·6 = 19,15·2 + 40·4,5 → R_B = 36,38 kN

A_y = 19,15 + 40 − 36,38 = 22,77 kN

A_x = P_h = 16,07 kN

Повна реакція в A

R_A = √(16,07² + 22,77²) = 27,87 kN

Відповідь

R_A = 27,87 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 35,63 kN (T), BC: 35,63 kN (T), CD: 28,12 kN (T), DE: 28,12 kN (T), FG: 56,25 kN (C), GH: 56,25 kN (C), AF: 59,38 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 34,38 kN (T), HC: 46,88 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 10 kN (C), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 20 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 42,43 kN (C), HE: 28,28 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (C), BG: 28,28 kN (C), DG: 14,14 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 7,5 kN, R₂ = 22,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 7,5, M_C = 15, M_D = 22,5, M_E = 30 kN·m, M_F = 22,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 30 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 6,75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, прикладена в x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·2·1

R_B = 12/4 = 3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 3 = 9 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 9/6 = 1,5 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 9·1,5 − 6·1,5²/2 = 6,75 kN·m

Відповідь

M_max = 6,75 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 26,63 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 5000 N, a = 5000 mm, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 5000·5000²·3000²/(3·1,76 × 10¹²·8000) = 26,63 mm

Відповідь

δ_P = 26,63 mm

8.Прогин балки

Відповідь: R_B = 6,25 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·20/16 = 6,25 kN

Відповідь

R_B = 6,25 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 5,371 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·33333/3500² = 5371 N = 5,371 kN

Відповідь

P_cr = 5,371 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 43,82 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 43,82 mm

Відповідь

d = 43,82 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 114,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 569,9 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 440 − 2·24 = 392 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·440³ − 240·392³)/12

I_x = 5,699 × 10⁸ mm⁴ = 569,9 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 569,9 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 143,1 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2880 mm², y = 332 mm

стінка: A = 3100 mm², y = 165 mm

нижня полиця: A = 1700 mm², y = 5 mm

Центр ваги

ȳ = (2880·332 + 3100·165 + 1700·5)/7680 = 192,2 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 120·24³/12 + 2880·139,8² = 5,642 × 10⁷ mm⁴

стінка: 10·310³/12 + 3100·27,21² = 2,712 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 170·10³/12 + 1700·187,2² = 5,959 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,642 × 10⁷ + 2,712 × 10⁷ + 5,959 × 10⁷

I_x = 1,431 × 10⁸ mm⁴ = 143,1 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 143,1 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 54,76 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 19,5·4 = 94 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 94 − 39,24 = 54,76 kPa

Відповідь

σ′ = 54,76 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 69,73 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3,5

σ = 15·1 + 18,5·3 + 18·3,5 = 133,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6,5 = 63,77 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 133,5 − 63,77 = 69,73 kPa

Відповідь

σ′ = 69,73 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 129,2 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 50 + 120 = 170 kPa > 120 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,02·3,5/(1 + 1,05)·log₁₀(120/50) + 0,45·3,5/(1 + 1,05)·log₁₀(170/120)

S = 12,98 + 116,2 = 129,2 mm

Відповідь

S = 129,2 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 3,473 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H/2 = 3,5/2 = 1,75 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·1,75²/0,5 = 3,473 роки

Відповідь

t = 3,473 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 257,5 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·5 = 257,5 kN

Відповідь

F = 257,5 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,8 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,75·4,5 = 145,7 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,75 + 0,8438/(3,75·4,5) = 3,8 m

Відповідь

y_cp = 3,8 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 88,24 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,012/0,004418 = 2,716 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,716²/(2·9,81) = 0,376 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(800/0,075)·2,716²/(2·9,81) = 88,24 m

Відповідь

h_f = 88,24 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 3,397 m

Швидкість

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·150/0,3 = 12,5

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3

Сумарні втрати напору

h_f = 12,5·0,2295 = 2,869 m

h_m = 2,3·0,2295 = 0,5279 m

Δz = h_f + h_m = 3,397 m

Відповідь

Δz = 3,397 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,03188 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,07952 m², R = D/4 = 0,1125 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,0005^1/2 = 0,4008 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,07952·0,4008 = 0,03188 m³/s

Відповідь

Q = 0,03188 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0008225 m/m

Геометрія

A = b·y = 3,5·1,1 = 3,85 m²

P = b + 2y = 3,5 + 2·1,1 = 5,7 m

R = A/P = 0,6754 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·3,4/(3,85·0,7698) = 0,02868

S = 0,02868² = 0,0008225

Відповідь

S = 0,0008225

Це зниження на 0,8225 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 16,4 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·78 = 11,48 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 11,48/0,7 = 16,4 kW

Відповідь

P_shaft = 16,4 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 19,84 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16,5 + 8)·0,2905 = 7,117 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 15 + 7,117 = 22,12 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·22,12/0,82 = 19,84 kW

Відповідь

P_shaft = 19,84 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 5867 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·8 = 96

Майбутня вартість

FV = 5 000·(1 + 0,001667)⁹⁶ = 5 000·1,173 = €5 866,77

Відповідь

FV = €5 866,77

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 39887 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·14 = 168

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,399 − 1)/0,002 = €39 886,96

Відповідь

FV = €39 886,96

Самі ви внесли €33 600; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 13319 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 18 000/1,05 = 17 142,86

CF₂/(1 + 0,05)² = 26 000/1,103 = 23 582,77

CF₃/(1 + 0,05)³ = 37 000/1,158 = 31 961,99

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 19 000/1,216 = 15 631,35

Додайте

NPV = €13 318,96

Відповідь

NPV = €13 318,96

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 7,931 %

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 20 000/5 000 = 4

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 7%: 4,1

i = 8%: 3,993

IRR = 7,931%

Відповідь

IRR = 7,931%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1056

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056

Відповідь

P = 0,1056

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 71,7 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,75

z з таблиці

z ≈ 0,67

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 0,67·10 = 71,7 балів

Відповідь

x = 71,7 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil