Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 3,5 m і зосередженою силою P на відстані 3 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 5 mP = 60 kN у 3 mw = 6 kN/m від 0 до 3,5 m

M_A = kN·m

2.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює нулю біля стіни й зростає до 20 kN/m на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 10 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 10 mw₀ = 20 kN/mP = 45 kN у 10 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 30 kN ↓D: 30 kN ↓F: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 15 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←

F_BC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 4 kN/m від 0 до 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 15 kN у 1 mw = 12 kN/m від 0 до 10 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 2 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 5 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Порожнистий прямокутний (коробчастий) переріз має зовнішню ширину B = 160 mm, зовнішню висоту H = 275 mm і сталу товщину стінки t = 16 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

B = 160 mmH = 275 mmt = 16 mm

r = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 20 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_низ = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 6 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 10 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 5 m має C_c = 0,25, C_r = 0,06 і e₀ = 0,85. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 40 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 3. Нова будівля додає 30 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 5 mC_c = 0,25C_r = 0,06e₀ = 0,85σ′₀ = 40 kPaOCR = 3Δσ = 30 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 19 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 15 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 6,5 m. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 19 mmt_lab = 15 minH = 6,5 mприродний шар: однобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,7 m/s горизонтальною трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,7 m/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 150 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) має ширину по дну 2,5 m і закладання укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2,2 m. n Маннінга = 0,03, ухил дна S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2,5 my = 2,2 mz = 3n = 0,03S = 0,002

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) з шириною по дну 4,5 m і закладанням укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 36 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,2 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 36 m³/sb = 4,5 my = 2,2 mz = 2n = 0,015

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 60% подає 150 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 72 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 150 L/sH = 72 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 38 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 70%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 80 L/sΔz = 38 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 9 років вам потрібно €5 000. Рахунок дає 2 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €5 0002% / 12n = 9

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви позичаєте €5 000 під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €75. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.

P = €5 000A = €754,8% / 12

N = платежів

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €60 000. Він приносить €12 000 наприкінці кожного року протягом 5 років, а потім його можна продати за €6 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €60 000CF = €12 000S = €6 000n = 5r = 12%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €18 000, €28 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −40 000CF₁ = 18 000CF₂ = 28 500

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 12 min і середнім квадратичним відхиленням 1,5 min; Y незалежна й нормальна із середнім 20 min і середнім квадратичним відхиленням 2 min. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 34 min. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34 min

P =

30.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 20% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів20%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 216,8 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 6·3,5 = 21 kN, x̄ = 1,75 m

Момент відносно стіни

M_A = P·a + W·x̄ = 60·3 + 21·1,75 = 216,8 kN·m

Відповідь

M_A = 216,8 kN·m

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 1117 kN·m

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·20·10 = 100 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 100·6,667 + 45·10 = 1117 kN·m

Відповідь

M_A = 1117 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 63,64 kN (C), HE: 49,5 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 30 kN (T), FC: 7,071 kN (C), HC: 7,071 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = 20,19 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·1 − 30·2 → C_y = −7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − −7,5 = 22,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−7,5/0,3714 = 20,19 kN

Відповідь

F_BC = 20,19 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 31,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Розріжте в x = 3,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 16·3,5 − 4·3,5·1,75 = 31,5 kN·m

Відповідь

M_x = 31,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 67,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·1 + 12·10·5

R_B = 615/10 = 61,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 61,5 = 73,5 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 73,5·1 − 12·1·0,5 = 67,5 kN·m

Відповідь

M_x = 67,5 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 2,646 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 5000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 5000·2000²·1000²/(3·8,4 × 10¹¹·3000) = 2,646 mm

Відповідь

δ_P = 2,646 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·70000·22,22) = 5,143 × 10⁸ mm⁴

I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 514,3 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 17,58 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1250² = 17581 N = 17,58 kN

Відповідь

P_cr = 17,58 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 17,27 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Відповідь

σ_cr = 17,27 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 98,15 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

b = 128 mm, h = 243 mm

A = BH − bh = 160·275 − 128·243 = 12896 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1,242 × 10⁸ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(1,242 × 10⁸/12896) = 98,15 mm

Відповідь

r = 98,15 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 63,39 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

стінка: A_w = 16·240 = 3840 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·255 + 3840·120)/12240 = 212,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·30³/12 + 8400·(255 − 212,6)² = 1,57 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·240³/12 + 3840·(120 − 212,6)² = 5,139 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,57 × 10⁷ + 5,139 × 10⁷ = 6,709 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 212,6 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·212,6/6,709 × 10⁷ = 63,39 MPa

Відповідь

σ_низ = 63,39 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 78,57 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·3 + 19·3 = 108 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 108 − 29,43 = 78,57 kPa

Відповідь

σ′ = 78,57 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 78,48 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·8 = 78,48 kPa

Відповідь

u = 78,48 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 39,41 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·40 = 120 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 40 + 30 = 70 kPa ≤ 120 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·5/(1 + 0,85)·log₁₀(70/40) = 39,41 mm

Відповідь

S = 39,41 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 4877 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 19/2 = 9,5 mm = 0,0095 m

H_dr,field = 6,5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 15·(6,5/0,0095)² = 7,022 × 10⁶ min

t_field = 7,022 × 10⁶/1440 = 4877 днів

Відповідь

t = 4877 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 165,5 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·4,5 = 165,5 kN

Відповідь

F = 165,5 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 121,4 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,75·3,75 = 121,4 kN

Відповідь

F = 121,4 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 10,94 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(50/0,25)·2,7²/(2·9,81) = 1,115 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,115 = 10935 Pa = 10,94 kPa

Відповідь

Δp = 10,94 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 2,928 m

Швидкість

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·200/0,15 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Сумарні втрати напору

h_f = 24·0,102 = 2,448 m

h_m = 4,7·0,102 = 0,4794 m

Δz = h_f + h_m = 2,928 m

Відповідь

Δz = 2,928 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 34,07 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 3·2,2)·2,2 = 20,02 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,2·√(1 + 3²) = 16,41 m

R = A/P = 1,22 m

Швидкість

V = (1/0,03)·1,22^2/3·0,002^1/2 = 1,702 m/s

Витрата

Q = A·V = 20,02·1,702 = 34,07 m³/s

Відповідь

Q = 34,07 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0005021 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 2·2,2)·2,2 = 19,58 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·2,2·√(1 + 2²) = 14,34 m

R = A/P = 1,366 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·36/(19,58·1,231) = 0,02241

S = 0,02241² = 0,0005021

Відповідь

S = 0,0005021

Це зниження на 0,5021 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 176,6 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·72 = 105,9 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 105,9/0,6 = 176,6 kW

Відповідь

P_shaft = 176,6 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 53,91 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22,5 + 8)·0,3305 = 10,08 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 38 + 10,08 = 48,08 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·48,08/0,7 = 53,91 kW

Відповідь

P_shaft = 53,91 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 4177 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,02/12 = 0,001667

N = 12·9 = 108

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,197 = €4 176,98

Відповідь

PV = €4 176,98

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: N = 78 платежів

Перетворіть формулу ануїтету

i = 0,004

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,004/75 = 0,7333

Розв’язання за допомогою логарифмів

N = −ln(0,7333)/ln(1,004) = 77,69

Округлення вгору до повних платежів

Після 77 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.

N = 78

Відповідь

N = 78 платежів

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −13338 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

12 000·3,605 = 43 257,31

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

6 000/1,762 = 3 404,56

NPV

NPV = −60 000 + 43 257,31 + 3 404,56 = −€13 338,12

Відповідь

NPV = −€13 338,12

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 9,857 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(5%) = 2 993,20

NPV(10%) = −82,64

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 5 + 5·2 993,20/(2 993,20 − (−82,64)) = 9,866%

точно: NPV(9,857%) = 0 → IRR = 9,857%

Відповідь

IRR = 9,857%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,2119

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (34 − 32)/2,5 = 0,8

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Відповідь

P = 0,2119

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 112,6 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,8

z з таблиці

z ≈ 0,84

Назад до початкових одиниць

x = 100 + 0,84·15 = 112,6 балів

Відповідь

x = 112,6 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil