Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 8 mP₁ = 15 kN у 4 mP₂ = 15 kN у 5 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP = 55 kN у 5 mw = 6 kN/m від 8 до 9 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 30 kN ↓C: 10 kN ↓D: 35 kN ↓F: 40 kN ↓H: 35 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 5 kN ←

F_BC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 3 m55 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 35 kN у 3 mw = 10 kN/m від 0 до 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані a = 3 m від опори A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 8 kNa = 3 mL = 5 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 12 kNw = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 115 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 115 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 100 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 40 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 97,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 150 mmвиріз: 60 × 40 mmцентр отвору: y = 97,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 5,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 2 m має C_c = 0,2, C_r = 0,04 і e₀ = 0,7. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 40 kPa і тиск попереднього ущільнення 120 kPa. Нова будівля додає 190 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 2 mC_c = 0,2C_r = 0,04e₀ = 0,7σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 120 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 9,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 2,5 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 60% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,287. За скільки років t шар досягне 60% консолідації?

H = 9,5 mc_v = 2,5 m²/рікU = 60%T_v = 0,287однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,5 m/s трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,5 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 2,5 m і закладання укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2,3 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,0005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2,5 my = 2,3 mz = 2n = 0,022S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) з шириною по дну 1,5 m і закладанням укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 18 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,8 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 18 m³/sb = 1,5 my = 1,8 mz = 1n = 0,022

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 66 m, а його вал споживає 79,7 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 80 L/sH = 66 mP_shaft = 79,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 15 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 300 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 120 L/sΔz = 15 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8p_tank = 300 kPa

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 5 років вам потрібно €5 000. Рахунок дає 4 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €5 0004% / 12n = 5

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €25 000 через 19 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €25 0005,4% / 12N = 228

A = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €50 000. Він приносить €9 000 наприкінці кожного року протягом 7 років, а потім його можна продати за €10 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €50 000CF = €9 000S = €10 000n = 7r = 10%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €12 500, €11 000, €13 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 12 500CF₂ = 11 000CF₃ = 13 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай значення зросту дорослих чоловіків розподілені нормально із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Яка частка значень лежить між 169,6 і 192 cm? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,6x₂ = 192

P =

30.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 40% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm40%

x = cm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 13,13 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·4 + 15·5

R_B = 135/8 = 16,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 16,88 = 13,13 kN

Відповідь

R_A = 13,13 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 32,6 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, прикладена в x̄ = 8,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·5 + 6·1·8,5

R_B = 326/10 = 32,6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 61 − 32,6 = 28,4 kN

Відповідь

R_B = 32,6 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 75 kN (T), BC: 75 kN (T), CD: 75 kN (T), DE: 75 kN (T), FG: 80 kN (C), GH: 80 kN (C), AF: 106,1 kN (C), HE: 106,1 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 7,071 kN (T), HC: 7,071 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −7,933 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·1 − 5·3 → C_y = 3,125 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 3,125 = 36,88 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/7,616 = 0,3939, cos γ = 7/7,616 = 0,9191

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −3,125/0,3939 = −7,933 kN

Відповідь

F_BC = −7,933 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 44,17 kN, R₂ = 25,83 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 44,17, M_C = 88,33 kN·m, M_D = 77,5, M_E = 51,67, M_F = 25,83, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 88,33 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 178,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·3 + 10·10·5

R_B = 605/10 = 60,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 60,5 = 74,5 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 74,5·3 − 10·3·1,5 = 178,5 kN·m

Відповідь

M_x = 178,5 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 10,91 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 8000 N, a = 3000 mm, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 8000·3000²·2000²/(3·1,76 × 10¹²·5000) = 10,91 mm

Відповідь

δ_P = 10,91 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 30,54 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 12000 N, w = 12 N/mm, L = 6000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·6000³/(48·8,4 × 10¹²) = 6,429 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·6000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 24,11 mm

Додайте

δ_max = 6,429 + 24,11 = 30,54 mm

Відповідь

δ_max = 30,54 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 6,89 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6,89 kN

Відповідь

P_cr = 6,89 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 101,7 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 101,7 mm

Відповідь

d = 101,7 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 236,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·150 − 1963·120)/(30000 − 1963) = 152,1 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·300³/12 + 30000·−2,101² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−32,1² = 2,33 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 222,8 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 26,36 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (15000·75 − 2400·97,5)/(15000 − 2400) = 70,71 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·150³/12 + 15000·4,286² = 28,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·40³/12 + 2400·26,79² = 2,042 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 26,36 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 26,36 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 61,69 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·3 + 20,5·1 = 71,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 71,5 − 9,81 = 61,69 kPa

Відповідь

σ′ = 61,69 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 58,35 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16,5·1 + 20,5·2 + 18·2,5 = 102,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 102,5 − 44,15 = 58,35 kPa

Відповідь

σ′ = 58,35 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 88,93 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 40 + 190 = 230 kPa > 120 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,04·2/(1 + 0,7)·log₁₀(120/40) + 0,2·2/(1 + 0,7)·log₁₀(230/120)

S = 22,45 + 66,48 = 88,93 mm

Відповідь

S = 88,93 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 10,36 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 9,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·9,5²/2,5 = 10,36 роки

Відповідь

t = 10,36 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 117,7 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Відповідь

F = 117,7 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,308 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,25·4,5 = 126,3 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,25 + 0,8438/(3,25·4,5) = 3,308 m

Відповідь

y_cp = 3,308 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 25,48 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,075)·2,5²/(2·9,81) = 25,48 m

Відповідь

h_f = 25,48 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 6,977 m

Швидкість

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·300/0,3 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Сумарні втрати напору

h_f = 18·0,2295 = 4,131 m

h_m = 12,4·0,2295 = 2,846 m

Δz = h_f + h_m = 6,977 m

Відповідь

Δz = 6,977 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 19,54 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2,5 + 2·2,3)·2,3 = 16,33 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2,5 + 2·2,3·√(1 + 2²) = 12,79 m

R = A/P = 1,277 m

Швидкість

V = (1/0,022)·1,277^2/3·0,0005^1/2 = 1,196 m/s

Витрата

Q = A·V = 16,33·1,196 = 19,54 m³/s

Відповідь

Q = 19,54 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,005106 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1,5 + 1·1,8)·1,8 = 5,94 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1,5 + 2·1,8·√(1 + 1²) = 6,591 m

R = A/P = 0,9012 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·18/(5,94·0,933) = 0,07145

S = 0,07145² = 0,005106

Відповідь

S = 0,005106

Це зниження на 5,106 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 64,99 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·66 = 51,8 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 51,8/79,7 = 64,99%

Відповідь

η = 64,99%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 53,38 m

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (17,6 + 8)·0,3046 = 7,798 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 300000/(1000·9,81) = 30,58 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 15 + 30,58 + 7,798 = 53,38 m

Відповідь

H = 53,38 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 4095 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,04/12 = 0,003333

N = 12·5 = 60

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,221 = €4 095,02

Відповідь

PV = €4 095,02

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 63,08 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·19 = 228

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,0045/(2,783 − 1) = €63,08

Відповідь

A = €63,08

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −1053 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

9 000·4,868 = 43 815,77

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

10 000/1,949 = 5 131,58

NPV

NPV = −50 000 + 43 815,77 + 5 131,58 = −€1 052,65

Відповідь

NPV = −€1 052,65

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 37,15 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(35%) = 578,67

NPV(40%) = −721,57

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 35 + 5·578,67/(578,67 − (−721,57)) = 37,23%

точно: NPV(37,15%) = 0 → IRR = 37,15%

Відповідь

IRR = 37,15%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8622

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (169,6 − 178)/7 = −1,2

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Площа між

P = Φ(2) − Φ(−1,2) = 0,9772 − 0,1151 = 0,8622

Відповідь

P = 0,8622

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 179,8 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,6

z з таблиці

z ≈ 0,25

Назад до початкових одиниць

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

Відповідь

x = 179,8 cm

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil