Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP₁ = 50 kN у 4 mP₂ = 50 kN у 9 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP = 20 kN у 1,5 mw = 6 kN/m від 2 до 4 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

F: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 25 kN ↓C: 35 kN ↓D: 40 kN ↓F: 35 kN ↓H: 20 kN ↓H: 40 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_B на опорі B. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 7 mP₁ = 65 kN у 4,5 mP₂ = 75 kN у 7 mопори в x = 0 і x = 6 m

M_B = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mw = 12 kN/m від 0 до 5 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 4 mw = 15 kN/m

R_B = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 300 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 40 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 40 kN·m

σ_верх = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 8 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 5 m має C_c = 0,2, C_r = 0,06 і e₀ = 0,65. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 80 kPa і тиск попереднього ущільнення 120 kPa. Нова будівля додає 35 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 5 mC_c = 0,2C_r = 0,06e₀ = 0,65σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 120 kPaΔσ = 35 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 9,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 1 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 50% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,197. За скільки років t шар досягне 50% консолідації?

H = 9,5 mc_v = 1 m²/рікU = 50%T_v = 0,197однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 8 L/s трубою довжиною 800 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 8 L/sL = 800 mD = 100 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 300 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 10). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (оброблений бетон) має ширину по дну 4 m і закладання укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2,1 m. n Маннінга = 0,012, ухил дна S = 0,0005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4 my = 2,1 mz = 3n = 0,012S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) з шириною по дну 2 m і закладанням укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 7,1 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,7 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 7,1 m³/sb = 2 my = 0,7 mz = 3n = 0,015

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 34 m, а його вал споживає 27,8 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 60 L/sH = 34 mP_shaft = 27,8 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 11 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 85%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 20 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €1 000 під номінальну ставку 3 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 3 років.

PV = €1 0003% / 12n = 3

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €8 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €8 0002,4% / 12N = 36

A = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €40 000. Він приносить €5 500 наприкінці кожного року протягом 7 років, а потім його можна продати за €8 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €40 000CF = €5 500S = €8 000n = 7r = 12%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €5 500, €6 000, €4 500, €4 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 6 000CF₃ = 4 500CF₄ = 4 500

MIRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,4245. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,4245

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай результати IQ-тестів розподілені нормально із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 65 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·4 + 50·9

R_B = 650/10 = 65 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 65 = 35 kN

Відповідь

R_B = 65 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 15,5 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1,5 + 6·2·3

R_B = 66/4 = 16,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16,5 = 15,5 kN

Відповідь

R_A = 15,5 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 10 kN (T), BC: 6,667 kN (T), CD: 6,667 kN (T), DE: 3,333 kN (T), FG: 10 kN (C), GH: 3,333 kN (C), AF: 12,5 kN (C), HE: 4,167 kN (C), BF: 2,5 kN (C), CG: 0, DH: 2,5 kN (T), BG: 4,167 kN (T), DG: 4,167 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 47,5 kN (T), BC: 47,5 kN (T), CD: 67,5 kN (T), DE: 67,5 kN (T), FG: 115 kN (C), GH: 115 kN (C), AF: 123,7 kN (C), HE: 95,46 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 40 kN (T), FC: 38,89 kN (T), HC: 10,61 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_B = −75 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·4,5 + 75·7

R_B = 817,5/6 = 136,3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 136,3 = 3,75 kN

Переріз у B, залишаємо консоль

На консоль діє лише P₂ із плечем a. Вона згинає балку над опорою опуклістю догори (від’ємний момент).

M_B = −P₂·a = −75·1 = −75 kN·m

Відповідь

M_B = −75 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 84,38 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·5·2,5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 15 = 45 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 45/12 = 3,75 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 45·3,75 − 12·3,75²/2 = 84,38 kN·m

Відповідь

M_max = 84,38 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 35,45 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 35,45 mm

Відповідь

δ_max = 35,45 mm

8.Прогин балки

Відповідь: R_B = 22,5 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22,5 kN

Відповідь

R_B = 22,5 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 71,06 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2500² = 71061 N = 71,06 kN

Відповідь

P_cr = 71,06 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 3,084 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/10 = 800

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3,084 MPa

Відповідь

σ_cr = 3,084 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·150 − 1963·105)/(30000 − 1963) = 153,2 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·300³/12 + 30000·−3,152² = 225,3 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−48,15² = 4,859 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 220,4 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 315,3 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

стінка: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·145 + 1960·70)/2960 = 95,34 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 100·10³/12 + 1000·(145 − 95,34)² = 2,475 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·140³/12 + 1960·(70 − 95,34)² = 4,46 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,475 × 10⁶ + 4,46 × 10⁶ = 6,934 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 150 − 95,34 = 54,66 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·54,66/6,934 × 10⁶ = 315,3 MPa

Відповідь

σ_верх = 315,3 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 94,45 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·3 + 18,5·5 = 143,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 143,5 − 49,05 = 94,45 kPa

Відповідь

σ′ = 94,45 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 49,05 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Відповідь

u = 49,05 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 28,66 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 80 + 35 = 115 kPa ≤ 120 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,06·5/(1 + 0,65)·log₁₀(115/80) = 28,66 mm

Відповідь

S = 28,66 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 17,78 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 9,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·9,5²/1 = 17,78 роки

Відповідь

t = 17,78 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 58,86 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Відповідь

F = 58,86 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 103,6 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·3 = 103,6 kN

Відповідь

F = 103,6 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 8,461 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,1²/4 = 0,007854 m²

V = Q/A = 0,008/0,007854 = 1,019 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(800/0,1)·1,019²/(2·9,81) = 8,461 m

Відповідь

h_f = 8,461 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 1,842 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,07069 = 1,061 m/s

V²/(2g) = 0,05738 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·400/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 20 + 11,1)·0,05738 = 1,842 m

Відповідь

H = 1,842 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 46,81 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4 + 3·2,1)·2,1 = 21,63 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2,1·√(1 + 3²) = 17,28 m

R = A/P = 1,252 m

Швидкість

V = (1/0,012)·1,252^2/3·0,0005^1/2 = 2,164 m/s

Витрата

Q = A·V = 21,63·2,164 = 46,81 m³/s

Відповідь

Q = 46,81 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,004034 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (2 + 3·0,7)·0,7 = 2,87 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0,7·√(1 + 3²) = 6,427 m

R = A/P = 0,4465 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·7,1/(2,87·0,5842) = 0,06352

S = 0,06352² = 0,004034

Відповідь

S = 0,004034

Це зниження на 4,034 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 71,99 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·34 = 20,01 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 20,01/27,8 = 71,99%

Відповідь

η = 71,99%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 6,964 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0,3305 = 19,17 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 11 + 19,17 = 30,17 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·30,17/0,85 = 6,964 kW

Відповідь

P_shaft = 6,964 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 1094 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·3 = 36

Майбутня вартість

FV = 1 000·(1 + 0,0025)³⁶ = 1 000·1,094 = €1 094,05

Відповідь

FV = €1 094,05

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 230,5 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·3 = 36

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,9306

A = 8 000·0,002/(1 − 0,9306) = €230,54

Відповідь

A = €230,54

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −11281 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

5 500·4,564 = 25 100,66

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

8 000/2,211 = 3 618,79

NPV

NPV = −40 000 + 25 100,66 + 3 618,79 = −€11 280,55

Відповідь

NPV = −€11 280,55

28.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 22,56 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

5 500·1,06³ = 6 550,59

6 000·1,06² = 6 741,60

4 500·1,06¹ = 4 770,00

4 500·1,06⁰ = 4 500,00

TV = 22 562,19

MIRR

MIRR = (22 562,19/10 000)^1/4 − 1 = 22,56%

Відповідь

MIRR = 22,56%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,56

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,4245)/2 = 0,7123

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7123 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,56

Відповідь

z = 0,56

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 119,2 балів

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 балів

Відповідь

x = 119,22 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil