Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 6 mP₁ = 45 kN у 1 mP₂ = 60 kN у 2 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (2 m від A) і спирається на рухому опору в D (6 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD і зосередженою силою Q на відстані 1,5 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 2 mAD = 6 mP = 80 kN у 4 mw = 3 kN/m від 2 до 6 mQ = 55 kN у 1,5 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

F: 10 kN ↓G: 15 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 3 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN →

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 3 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 50 kN у 4 mw = 2 kN/m від 0 до 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θ_A перерізу балки на опорі A в радіанах.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 145 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 145 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Чавунна балка має показаний тавровий переріз із полицею вгорі. Допустимі напруження: 30 MPa на розтяг і 90 MPa на стиск. Знайдіть найбільший від’ємний згинальний момент M_allow, який може витримати балка (вкажіть його величину).

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 8,5 mz_w = 5 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 4 m має C_c = 0,3, C_r = 0,06 і e₀ = 0,9. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 100 kPa і тиск попереднього ущільнення 190 kPa. Нова будівля додає 180 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 4 mC_c = 0,3C_r = 0,06e₀ = 0,9σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 190 kPaΔσ = 180 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 25 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 10 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 2,5 m. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 25 mmt_lab = 10 minH = 2,5 mприродний шар: однобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 12 L/s трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 12 L/sL = 500 mD = 75 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 120 L/s?

Q = 120 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 4,5 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 0,8 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4,5 my = 0,8 mz = 1,5n = 0,022S = 0,002

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) з шириною по дну 5,5 m і закладанням укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 5,5 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,5 m. n Маннінга = 0,022. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 5,5 m³/sb = 5,5 my = 0,5 mz = 1n = 0,022

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 72 m. ККД насоса 85%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 92%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 80 L/sH = 72 mη_pump = 85%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 3 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 400 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 3p_tank = 400 kPa

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 4 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 3,6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €10 0003,6% / 4n = 4

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Іпотечний кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 7? Знайдіть залишок боргу B.

P = €150 0007,2% / 12N = 300k = 84

B = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €7 000, €4 000, €9 000, €7 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 4 000CF₃ = 9 000CF₄ = 7 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €50 000 приносить €13 500 наприкінці кожного року протягом 4 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €50 000CF = €13 500n = 4

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай маси пакетів розподілені нормально із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Яка частка значень лежить між 244,25 і 257,5 g? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 250σ = 5x₁ = 244,25x₂ = 257,5

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 97,5 % значень (97,5-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 77,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1 + 60·2

R_B = 165/6 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 27,5 = 77,5 kN

Відповідь

R_A = 77,5 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 174,5 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 3·4 = 12 kN у 2 m від C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 80·2 + 12·2

R_D = 46 kN

V_C = 92 − 46 = 46 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 55 + 46 = 101 kN

M_A = 55·1,5 + 46·2 = 174,5 kN·m

Відповідь

M_A = 174,5 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 15 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 10 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 10 kN (C), AF: 21,21 kN (C), HE: 14,14 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 7,071 kN (C), DG: 14,14 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = 17,68 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·3 + 30·3 → C_y = 52,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 52,5 = −12,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−12,5/0,7071 = 17,68 kN

Відповідь

F_AB = 17,68 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 57,5 kN, R₂ = 57,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 52,5, M_C = 95, M_D = 127,5 kN·m, M_E = 95, M_F = 52,5, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 127,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 44 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·4 + 2·5·2,5

R_B = 225/5 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 45 = 15 kN

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 15·4 − 2·4·2 = 44 kN·m

Відповідь

M_x = 44 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: θ_A = 0,003788 rad

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Кут повороту на кінці

θ_A = wL³/(24EI) = 20·2000³/(24·1,76 × 10¹²) = 0,003788 rad

Відповідь

θ_A = 0,003788 rad

Це 0,217°.

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 11,72 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,172 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11,72 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 11,72 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 263,2 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/2000² = 263189 N = 263,2 kN

Відповідь

P_cr = 263,2 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 83,19 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·145000 = 290000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·290000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,19 mm

Відповідь

d = 83,19 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 192,3, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 94,89 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

стінка: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·292,5 + 4480·140)/11980 = 235,5 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 300·25³/12 + 7500·(292,5 − 235,5)² = 2,478 × 10⁷ mm⁴

стінка: 16·280³/12 + 4480·(140 − 235,5)² = 7,01 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,478 × 10⁷ + 7,01 × 10⁷ = 9,489 × 10⁷ mm⁴ = 94,89 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 94,89 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: M_allow = 10,61 kN·m

Центр ваги

ȳ = (6000·215 + 1600·100)/7600 = 190,8 mm

верхній край: c = 230 − 190,8 = 39,21 mm

Момент інерції перерізу

I = 200·30³/12 + 6000·24,21² + 8·200³/12 + 1600·90,79² = 2,249 × 10⁷ mm⁴

Момент, допустимий за кожним краєм

Від’ємний момент: верх розтягнутий, низ стиснутий.

верхній край: M = 30·2,249 × 10⁷/39,21 = 17,21 kN·m

нижній край: M = 90·2,249 × 10⁷/190,8 = 10,61 kN·m

Визначальне значення

M_allow = min = 10,61 kN·m (нижній край)

Відповідь

M_allow = 10,61 kN·m

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 63,57 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·2 + 20·3 = 93 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 93 − 29,43 = 63,57 kPa

Відповідь

σ′ = 63,57 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 34,34 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3,5 = 34,34 kPa

Відповідь

u = 34,34 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 141,6 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 100 + 180 = 280 kPa > 190 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,06·4/(1 + 0,9)·log₁₀(190/100) + 0,3·4/(1 + 0,9)·log₁₀(280/190)

S = 35,21 + 106,4 = 141,6 mm

Відповідь

S = 141,6 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 277,8 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 2,5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 10·(2,5/0,0125)² = 400000 min

t_field = 400000/1440 = 277,8 днів

Відповідь

t = 277,8 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 88,29 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Відповідь

F = 88,29 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,595 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,5·4 = 140,8 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3,5 + 1,333/(3,5·4) = 3,595 m

Відповідь

y_cp = 3,595 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 50,14 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,012/0,004418 = 2,716 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,716²/(2·9,81) = 0,376 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(500/0,075)·2,716²/(2·9,81) = 50,14 m

Відповідь

h_f = 50,14 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 2,453 m

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,07069 = 1,698 m/s

V²/(2g) = 0,1469 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·200/0,3 = 12

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Сумарні втрати напору

h_f = 12·0,1469 = 1,763 m

h_m = 4,7·0,1469 = 0,6904 m

Δz = h_f + h_m = 2,453 m

Відповідь

Δz = 2,453 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 6,722 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (4,5 + 1,5·0,8)·0,8 = 4,56 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4,5 + 2·0,8·√(1 + 1,5²) = 7,384 m

R = A/P = 0,6175 m

Швидкість

V = (1/0,022)·0,6175^2/3·0,002^1/2 = 1,474 m/s

Витрата

Q = A·V = 4,56·1,474 = 6,722 m³/s

Відповідь

Q = 6,722 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,004952 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (5,5 + 1·0,5)·0,5 = 3 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5,5 + 2·0,5·√(1 + 1²) = 6,914 m

R = A/P = 0,4339 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,022·5,5/(3·0,5731) = 0,07037

S = 0,07037² = 0,004952

Відповідь

S = 0,004952

Це зниження на 4,952 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 72,26 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·72 = 56,51 kW

Потужність на валу

P_shaft = 56,51/0,85 = 66,48 kW

Електрична потужність

P_el = 66,48/0,92 = 72,26 kW

Відповідь

P_el = 72,26 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 47,81 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 3)·0,1354 = 2,031 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9,81) = 40,77 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 40,77 + 2,031 = 47,81 m

Відповідь

H = 47,81 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 8664 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·4 = 16

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,154 = €8 664,46

Відповідь

PV = €8 664,46

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: B = 130482 €

Щомісячний платіж

i = 0,006, N = 300

A = 150 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻³⁰⁰) = €1 079,38

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 300 − 84 = 216

B = 1079·(1 − (1 + 0,006)⁻²¹⁶)/0,006 = €130 481,98

Відповідь

B = €130 481,98

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 2201 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 7 000/1,08 = 6 481,48

CF₂/(1 + 0,08)² = 4 000/1,166 = 3 429,36

CF₃/(1 + 0,08)³ = 9 000/1,26 = 7 144,49

CF₄/(1 + 0,08)⁴ = 7 000/1,36 = 5 145,21

Додайте

NPV = €2 200,54

Відповідь

NPV = €2 200,54

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 3,151 %

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 50 000/13 500 = 3,704

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 3%: 3,717

i = 4%: 3,63

IRR = 3,151%

Відповідь

IRR = 3,151%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8081

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15

z₂ = (257,5 − 250)/5 = 1,5

Площа між

P = Φ(1,5) − Φ(−1,15) = 0,9332 − 0,1251 = 0,8081

Відповідь

P = 0,8081

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 84,6 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Назад до x

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 балів

Відповідь

x = 84,6 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil