Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що зростає від нуля в A до 10 kN/m у B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mw₀ = 10 kN/m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює 8 kN/m біля стіни й спадає до нуля на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 3 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 10 mw₀ = 8 kN/mP = 75 kN у 3 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 40 kN ↓D: 15 kN ↓F: 10 kN ↓G: 35 kN ↓H: 30 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 40 kN ↓F: 15 kN ↓G: 10 kN ↓H: 35 kN ↓H: 25 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

50 kN @ 5 m30 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

25 kN @ 0 m50 kN @ 6 m30 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 20 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 120 mm і товщиною 14 mm, повну висоту 500 mm і стінку товщиною 8 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 120 mmH = 500 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 7,5 m має C_c = 0,25, C_r = 0,03 і e₀ = 0,85. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 105 kPa і тиск попереднього ущільнення 165 kPa. Нова будівля додає 210 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 7,5 mC_c = 0,25C_r = 0,03e₀ = 0,85σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 165 kPaΔσ = 210 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 8 m має коефіцієнт консолідації c_v = 1,2 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 90% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,848. За скільки років t шар досягне 90% консолідації?

H = 8 mc_v = 1,2 m²/рікU = 90%T_v = 0,848однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 1,6 m/s горизонтальною трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 1,6 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 150 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Поверхня води у верхньому резервуарі на 13 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 13 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 450 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 450 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) з шириною по дну 3 m і закладанням укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 22 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,4 m. n Маннінга = 0,03. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 22 m³/sb = 3 my = 2,4 mz = 3n = 0,03

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 26 m. ККД насоса 60%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 92%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 40 L/sH = 26 mη_pump = 60%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 31 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 20 L/sΔz = 31 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 5 років вам потрібно €10 000. Рахунок дає 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €10 0006% / 12n = 5

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €250 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 4,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €250 0004,2% / 12N = 300

A = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €23 000, €17 000, €17 000, €28 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 23 000CF₂ = 17 000CF₃ = 17 000CF₄ = 28 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €8 000, €9 000, €14 500, €8 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 8%CF₀ = −25 000CF₁ = 8 000CF₂ = 9 000CF₃ = 14 500CF₄ = 8 500

MIRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,4177. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,4177

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,05 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 20 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·10·6 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·4

R_B = 20 kN

R_A = 30 − 20 = 10 kN

Відповідь

R_B = 20 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 358,3 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·8·10 = 40 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 40·3,333 + 75·3 = 358,3 kN·m

Відповідь

M_A = 358,3 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 88,33 kN (T), BC: 110 kN (T), CD: 110 kN (T), DE: 85 kN (T), FG: 88,33 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 110,4 kN (C), HE: 106,2 kN (C), BF: 56,25 kN (T), CG: 0, DH: 33,75 kN (T), BG: 27,08 kN (C), DG: 31,25 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 22,5 kN (T), BC: 22,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 53,75 kN (C), GH: 53,75 kN (C), AF: 79,17 kN (C), HE: 45,83 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 10,42 kN (T), HC: 2,083 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 18,33 kN, R₂ = 61,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 18,33, M_C = 36,67, M_D = 55, M_E = 73,33 kN·m, M_F = 61,67, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 73,33 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 4 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 10 kN, R₂ = 95 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −40, M_D = −55, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −100 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 10,61 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 10,61 mm

Відповідь

δ = 10,61 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 4,406 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 20000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·3000³/(48·3,99 × 10¹²) = 2,82 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 1,586 mm

Додайте

δ_max = 2,82 + 1,586 = 4,406 mm

Відповідь

δ_max = 4,406 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 31,64 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2800² = 31639 N = 31,64 kN

Відповідь

P_cr = 31,64 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 12,34 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/5 = 400

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Відповідь

σ_cr = 12,34 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 268,6 × 10⁶ mm⁴

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 500 − 2·14 = 472 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·500³ − 112·472³)/12

I_x = 2,686 × 10⁸ mm⁴ = 268,6 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 268,6 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 67,59 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

стінка: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·275 + 2600·130)/6800 = 219,6 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·30³/12 + 4200·(275 − 219,6)² = 1,322 × 10⁷ mm⁴

стінка: 10·260³/12 + 2600·(130 − 219,6)² = 3,55 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,322 × 10⁷ + 3,55 × 10⁷ = 4,873 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 219,6 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·219,6/4,873 × 10⁷ = 67,59 MPa

Відповідь

σ_низ = 67,59 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 110,9 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·4 + 20·5 = 160 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 160 − 49,05 = 110,9 kPa

Відповідь

σ′ = 110,9 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 65,26 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 16,5·2 + 19·1 + 17,5·3 = 104,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 104,5 − 39,24 = 65,26 kPa

Відповідь

σ′ = 65,26 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 308,5 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 105 + 210 = 315 kPa > 165 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,03·7,5/(1 + 0,85)·log₁₀(165/105) + 0,25·7,5/(1 + 0,85)·log₁₀(315/165)

S = 23,87 + 284,6 = 308,5 mm

Відповідь

S = 308,5 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 45,23 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 8 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·8²/1,2 = 45,23 роки

Відповідь

t = 45,23 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 132,4 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·3 = 132,4 kN

Відповідь

F = 132,4 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 211,2 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2/2 = 3,5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·3,5·6 = 211,2 kN

Відповідь

F = 211,2 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 19,2 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,3)·1,6²/(2·9,81) = 1,957 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,957 = 19200 Pa = 19,2 kPa

Відповідь

Δp = 19,2 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 52,32 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·150/0,15 = 22

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

13 = (22 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·13/29,1) = 2,961 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 2,961·0,01767 = 0,05232 m³/s = 52,32 L/s

Відповідь

Q = 52,32 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,09016 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,07952 m², R = D/4 = 0,1125 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,1125^2/3·0,004^1/2 = 1,134 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,07952·1,134 = 0,09016 m³/s

Відповідь

Q = 0,09016 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0004888 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3 + 3·2,4)·2,4 = 24,48 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2,4·√(1 + 3²) = 18,18 m

R = A/P = 1,347 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,03·22/(24,48·1,219) = 0,02211

S = 0,02211² = 0,0004888

Відповідь

S = 0,0004888

Це зниження на 0,4888 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 18,48 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·26 = 10,2 kW

Потужність на валу

P_shaft = 10,2/0,6 = 17 kW

Електрична потужність

P_el = 17/0,92 = 18,48 kW

Відповідь

P_el = 18,48 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 39,59 m

Швидкість

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0,3305 = 8,593 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 31 + 8,593 = 39,59 m

Відповідь

H = 39,59 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 7414 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·5 = 60

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,349 = €7 413,72

Відповідь

PV = €7 413,72

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 1347 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·25 = 300

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,3506

A = 250 000·0,0035/(1 − 0,3506) = €1 347,36

Відповідь

A = €1 347,36

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 13280 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 23 000/1,06 = 21 698,11

CF₂/(1 + 0,06)² = 17 000/1,124 = 15 129,94

CF₃/(1 + 0,06)³ = 17 000/1,191 = 14 273,53

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 28 000/1,262 = 22 178,62

Додайте

NPV = €13 280,20

Відповідь

NPV = €13 280,20

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 15,66 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

8 000·1,08³ = 10 077,70

9 000·1,08² = 10 497,60

14 500·1,08¹ = 15 660,00

8 500·1,08⁰ = 8 500,00

TV = 44 735,30

MIRR

MIRR = (44 735,30/25 000)^1/4 − 1 = 15,66%

Відповідь

MIRR = 15,66%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,55

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,4177)/2 = 0,7088

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,7088 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,55

Відповідь

z = 0,55

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9772

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

Імовірність

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

Відповідь

P = 0,9772

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil