Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 5 m і зосередженою силою P на відстані 6 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію R_A у стіні.

L = 8 mP = 45 kN у 6 mw = 4 kN/m від 0 до 5 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP = 60 kN у 6 mw = 5 kN/m від 6 до 10 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 55 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 35 kN ↓C: 20 kN ↓D: 35 kN ↓F: 35 kN ↓F: 10 kN →H: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 4 mw = 6 kN/m від 0 до 4 mx = 2,5 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mw = 8 kN/m від 2 до 7 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 5 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1,5 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δ_max балки.

P = 9 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 120 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 80 mm. Основа й полиці мають товщину 8 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 120 mmh = 80 mmt = 8 mm

ȳ = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmM = 15 kN·m

σ_низ = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 14 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 3 m має C_c = 0,3, C_r = 0,06 і e₀ = 0,8. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 45 kPa і тиск попереднього ущільнення 75 kPa. Нова будівля додає 120 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 3 mC_c = 0,3C_r = 0,06e₀ = 0,8σ′₀ = 45 kPaσ′_p = 75 kPaΔσ = 120 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 20 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 10 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 5,5 m. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 20 mmt_lab = 10 minH = 5,5 mприродний шар: двобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 80 L/s трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 80 L/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 250 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 5). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (чистий ґрунт) має ширину по дну 6 m і закладання укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 2 m. n Маннінга = 0,022, ухил дна S = 0,003. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 6 my = 2 mz = 3n = 0,022S = 0,003

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (гравій) шириною 5,5 m має пропускати 10 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,6 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 10 m³/sb = 5,5 my = 1,6 mn = 0,025

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 50 m. ККД насоса 85%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 94%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 50 L/sH = 50 mη_pump = 85%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 11 m вища. Труба довжиною 500 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 82%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 80 L/sΔz = 11 mL = 500 mD = 200 mmf = 0,015ΣK = 5η = 82%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 2 років.

PV = €2 0005% / 4n = 2

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €1 000 на початку кожного року протягом 20 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 7 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 20? Знайдіть FV.

A = €1 000i = 7%n = 20

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €80 000. Він приносить €31 500 наприкінці кожного року протягом 3 років, а потім його можна продати за €20 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €80 000CF = €31 500S = €20 000n = 3r = 10%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €12 000, €11 000, €12 000, €11 500 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 12 000CF₂ = 11 000CF₃ = 12 000CF₄ = 11 500

MIRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 12 з них перевищує 473,8 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12> 473,8 g

P =

30.Нормальний розподілСкладна

результати IQ-тестів нормально розподілені із середнім 100 балів і стандартним відхиленням 15 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 75% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 100 балівσ = 15 балів75%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 65 kN

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2,5 m

Рівновага по вертикалі

R_A = P + W = 45 + 20 = 65 kN

Відповідь

R_A = 65 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 52 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, прикладена в x̄ = 8 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·6 + 5·4·8

R_B = 520/10 = 52 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 52 = 28 kN

Відповідь

R_B = 52 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −25,93 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·4 → C_y = 36,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 36,67 = 18,33 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/5,657 = 0,7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18,33/0,7071 = −25,93 kN

Відповідь

F_AB = −25,93 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 64,69 kN (T), BC: 64,69 kN (T), CD: 54,06 kN (T), DE: 54,06 kN (T), FG: 66,88 kN (C), GH: 66,88 kN (C), AF: 91,15 kN (C), HE: 90,1 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 3,646 kN (T), HC: 21,35 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −3 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, прикладена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 12 − 6·2,5 = −3 kN

Відповідь

V_x = −3 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 74,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, прикладена в x̄ = 4,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·5·4,5

R_B = 180/10 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 18 = 22 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 22/8 = 4,75 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 22·4,75 − 8·2,75²/2 = 74,25 kN·m

Відповідь

M_max = 74,25 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 1,559 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 5000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,2834 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0004252 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 1,559 mm

Відповідь

δ_B = 1,559 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 3,196 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 9000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Положення максимуму

Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

Максимальний прогин

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3,196 mm

Відповідь

δ_max = 3,196 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 62,01 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

Відповідь

P_cr = 62,01 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 9,835 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/6,25 = 448

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/448² = 9,835 MPa

Відповідь

σ_cr = 9,835 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 25,82 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 120·8 = 960 mm², y₁ = 4 mm

дві полиці: A₂ = 2·8·72 = 1152 mm², y₂ = 8 + 72/2 = 44 mm

Центр ваги

ȳ = (960·4 + 1152·44)/2112 = 25,82 mm

Відповідь

ȳ = 25,82 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 77,61 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

стінка: A_w = 14·220 = 3080 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·225 + 3080·110)/5880 = 164,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·10³/12 + 2800·(225 − 164,8)² = 1,018 × 10⁷ mm⁴

стінка: 14·220³/12 + 3080·(110 − 164,8)² = 2,166 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,018 × 10⁷ + 2,166 × 10⁷ = 3,184 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 164,8 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·164,8/3,184 × 10⁷ = 77,61 MPa

Відповідь

σ_низ = 77,61 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 164,9 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·4 + 19,5·10 = 263 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·10 = 98,1 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 263 − 98,1 = 164,9 kPa

Відповідь

σ′ = 164,9 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 29,43 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Відповідь

u = 29,43 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 193,4 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 45 + 120 = 165 kPa > 75 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,06·3/(1 + 0,8)·log₁₀(75/45) + 0,3·3/(1 + 0,8)·log₁₀(165/75)

S = 22,18 + 171,2 = 193,4 mm

Відповідь

S = 193,4 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 525,2 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 5,5/2 = 2,75 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 10·(2,75/0,01)² = 756250 min

t_field = 756250/1440 = 525,2 днів

Відповідь

t = 525,2 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 176,6 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·6 = 176,6 kN

Відповідь

F = 176,6 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 155,4 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3·6 = 155,4 kN

Відповідь

F = 155,4 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,4788 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,3²/4 = 0,07069 m²

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,3)·1,132²/(2·9,81) = 0,4788 m

Відповідь

h_f = 0,4788 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 2,106 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·100/0,25 = 10

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 10 + 6,7)·0,119 = 2,106 m

Відповідь

H = 2,106 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 70,69 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·2)·2 = 24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·2·√(1 + 3²) = 18,65 m

R = A/P = 1,287 m

Швидкість

V = (1/0,022)·1,287^2/3·0,003^1/2 = 2,946 m/s

Витрата

Q = A·V = 24·2,946 = 70,69 m³/s

Відповідь

Q = 70,69 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0007949 m/m

Геометрія

A = b·y = 5,5·1,6 = 8,8 m²

P = b + 2y = 5,5 + 2·1,6 = 8,7 m

R = A/P = 1,011 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·10/(8,8·1,008) = 0,02819

S = 0,02819² = 0,0007949

Відповідь

S = 0,0007949

Це зниження на 0,7949 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 30,69 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·50 = 24,52 kW

Потужність на валу

P_shaft = 24,52/0,85 = 28,85 kW

Електрична потужність

P_el = 28,85/0,94 = 30,69 kW

Відповідь

P_el = 30,69 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 23,97 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37,5 + 5)·0,3305 = 14,05 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 11 + 14,05 = 25,05 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·25,05/0,82 = 23,97 kW

Відповідь

P_shaft = 23,97 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 2209 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·2 = 8

Майбутня вартість

FV = 2 000·(1 + 0,0125)⁸ = 2 000·1,104 = €2 208,97

Відповідь

FV = €2 208,97

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 43865 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,07)²⁰ − 1)/0,07 = 41

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 1 000·41·1,07 = €43 865,18

Відповідь

FV = €43 865,18

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 13362 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

31 500·2,487 = 78 335,84

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

20 000/1,331 = 15 026,30

NPV

NPV = −80 000 + 78 335,84 + 15 026,30 = €13 362,13

Відповідь

NPV = €13 362,13

28.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 26,29 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

12 000·1,06³ = 14 292,19

11 000·1,06² = 12 359,60

12 000·1,06¹ = 12 720,00

11 500·1,06⁰ = 11 500,00

TV = 50 871,79

MIRR

MIRR = (50 871,79/20 000)^1/4 − 1 = 26,29%

Відповідь

MIRR = 26,29%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9319

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 480 g, σ_T = 1,2·√12 = 4,157 g

Стандартизуйте

z = (473,8 − 480)/4,157 = −1,49

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,49) = 0,9319

Відповідь

P = 0,9319

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 90 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,25

z з таблиці

z ≈ −0,67

Назад до початкових одиниць

x = 100 − 0,67·15 = 90 балів

Відповідь

x = 90 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil