Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка (нерухомий шарнір в A, рухома опора в B) навантажена лінійно змінним навантаженням, що спадає від 15 kN/m в A до нуля в B. Також на відстані 3 m від A прикладена зосереджена сила P. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 5 mw₀ = 15 kN/mP = 15 kN у 3 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP = 10 kN у 2,5 mw = 6 kN/m від 1 до 4 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 4 mвисота = 4 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 25 kN

F_AC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 4 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 50 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←

F_AC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Шарнірно оперта балка навантажена двома зосередженими силами. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP₁ = 50 kN у 2 mP₂ = 80 kN у 3 m

M_max = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

20 kN @ 0 m35 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 30 kNa = 1,5 mL = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 50 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmM = 50 kN·m

σ_низ = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 6,5 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 3 m має C_c = 0,5, C_r = 0,06 і e₀ = 0,75. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 75 kPa і тиск попереднього ущільнення 145 kPa. Нова будівля додає 90 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 3 mC_c = 0,5C_r = 0,06e₀ = 0,75σ′₀ = 75 kPaσ′_p = 145 kPaΔσ = 90 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 25 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 6 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 9 m. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 25 mmt_lab = 6 minH = 9 mприродний шар: двобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,6 m/s горизонтальною трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,6 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 1200 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (гравій) шириною 2 m має пропускати 3,1 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2,2 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 3,1 m³/sb = 2 my = 2,2 mn = 0,025

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 10 m, а його вал споживає 6,3 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 50 L/sH = 10 mP_shaft = 6,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 3 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 80%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 300 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 3η = 80%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €2 000 наприкінці кожного року протягом 10 років. Процентна ставка 6 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €2 000i = 6%n = 10

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €30 000 через 10 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €30 0004,8% / 12N = 120

A = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €40 000, служить 8 років, а його експлуатація коштує €1 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €40 000M = €1 000n = 8r = 6%

EAC = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €10 000, €13 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 13 500

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 27,5 і 33,5 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,5x₂ = 33,5

P =

30.Нормальний розподілСкладна

строки служби батарейок нормально розподілені із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 95% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 31 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·15·5 = 37,5 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 37,5·1,667 + 15·3

R_B = 21,5 kN

R_A = 52,5 − 21,5 = 31 kN

Відповідь

R_A = 31 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 10,5 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2,5 + 6·3·2,5

R_B = 70/4 = 17,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 17,5 = 10,5 kN

Відповідь

R_A = 10,5 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 4,688 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 25·1 → C_y = 6,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 6,25 = 18,75 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 4/5 = 0,8, cos γ = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6,25/0,8 = −7,813 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−7,813)·0,6 = 4,688 kN

Відповідь

F_AC = 4,688 kN (розтяг)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 5,417 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·5 − 30·4 → C_y = 21,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 21,67 = 28,33 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Вузол C

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21,67/0,9701 = −22,33 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−22,33)·0,2425 = 5,417 kN

Відповідь

F_AC = 5,417 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 170 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2 + 80·3

R_B = 340/6 = 56,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 56,67 = 73,33 kN

Момент під кожною силою

Залиште частину ліворуч від кожної сили.

під P₁: M = R_A·2 = 73,33·2 = 146,7 kN·m

під P₂: M = R_B·3 = 56,67·3 = 170 kN·m

Найбільше значення

M_max = 170 kN·m (під P₂)

Відповідь

M_max = 170 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 3,333 kN, R₂ = 51,67 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −73,33, M_D = −106,7, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = −140 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 6,027 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 30000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3,013 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003013 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6,027 mm

Відповідь

δ_B = 6,027 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·70000·11,11) = 6,429 × 10⁷ mm⁴

I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 9,462 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Відповідь

P_cr = 9,462 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 7,896 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/5 = 500

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa

Відповідь

σ_cr = 7,896 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 8,886 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

стінка: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·132,5 + 1680·60)/6680 = 114,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 200·25³/12 + 5000·(132,5 − 114,3)² = 1,923 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·120³/12 + 1680·(60 − 114,3)² = 6,963 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,923 × 10⁶ + 6,963 × 10⁶ = 8,886 × 10⁶ mm⁴ = 8,886 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 8,886 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 257,3 MPa

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

стінка: A_w = 12·220 = 2640 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·235 + 2640·110)/6840 = 186,8 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·30³/12 + 4200·(235 − 186,8)² = 1,009 × 10⁷ mm⁴

стінка: 12·220³/12 + 2640·(110 − 186,8)² = 2,62 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,009 × 10⁷ + 2,62 × 10⁷ = 3,629 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 186,8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·186,8/3,629 × 10⁷ = 257,3 MPa

Відповідь

σ_низ = 257,3 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 90,5 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·3 + 20,5·2 = 90,5 kPa

Відповідь

σ = 90,5 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 69,35 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16·2 + 19,5·2 + 17·2,5 = 113,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 113,5 − 44,15 = 69,35 kPa

Відповідь

σ′ = 69,35 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 77,55 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 75 + 90 = 165 kPa > 145 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,06·3/(1 + 0,75)·log₁₀(145/75) + 0,5·3/(1 + 0,75)·log₁₀(165/145)

S = 29,45 + 48,1 = 77,55 mm

Відповідь

S = 77,55 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 540 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 25/2 = 12,5 mm = 0,0125 m

H_dr,field = 9/2 = 4,5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 6·(4,5/0,0125)² = 777600 min

t_field = 777600/1440 = 540 днів

Відповідь

t = 540 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 117,7 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Відповідь

F = 117,7 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,083 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·3 = 103,6 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 1/(4·3) = 4,083 m

Відповідь

y_cp = 4,083 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 676 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(1000/0,1)·2,6²/(2·9,81) = 68,91 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·68,91 = 676000 Pa = 676 kPa

Відповідь

Δp = 676 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 2,558 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,04909 = 1,528 m/s

V²/(2g) = 0,119 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·100/0,25 = 8,8

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Сумарні втрати напору

h_f = 8,8·0,119 = 1,047 m

h_m = 12,7·0,119 = 1,511 m

Δz = h_f + h_m = 2,558 m

Відповідь

Δz = 2,558 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,8718 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,5655 m², R = D/4 = 0,3 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,002^1/2 = 1,542 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,5655·1,542 = 0,8718 m³/s

Відповідь

Q = 0,8718 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0005113 m/m

Геометрія

A = b·y = 2·2,2 = 4,4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2,2 = 6,4 m

R = A/P = 0,6875 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·3,1/(4,4·0,779) = 0,02261

S = 0,02261² = 0,0005113

Відповідь

S = 0,0005113

Це зниження на 0,5113 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 77,86 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·10 = 4,905 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 4,905/6,3 = 77,86%

Відповідь

η = 77,86%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 11,32 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 3)·0,408 = 13,47 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 5 + 13,47 = 18,47 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·18,47/0,8 = 11,32 kW

Відповідь

P_shaft = 11,32 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 14720 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5584)/0,06 = 7,36

Теперішня вартість

PV = 2 000·7,36 = €14 720,17

Відповідь

PV = €14 720,17

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 195,3 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·10 = 120

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,004/(1,615 − 1) = €195,27

Відповідь

A = €195,27

27.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 7441 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,06⁻⁸)/0,06 = 6,21

Ціна придбання, перерахована на рік

40 000/6,21 = 6 441,44

EAC

EAC = 6 441,44 + 1 000 = €7 441,44

Відповідь

EAC = €7 441,44

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 10,88 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(10%) = 247,93

NPV(15%) = −1 096,41

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 10 + 5·247,93/(247,93 − (−1 096,41)) = 10,92%

точно: NPV(10,88%) = 0 → IRR = 10,88%

Відповідь

IRR = 10,88%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,3721

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Площа між

P = Φ(0,25) − Φ(−0,75) = 0,5987 − 0,2266 = 0,3721

Відповідь

P = 0,3721

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 566 h

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,95

z з таблиці

z ≈ 1,64

Назад до початкових одиниць

x = 500 + 1,64·40 = 566 h

Відповідь

x = 566 h

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil