Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 5 m від A і зосередженим моментом M, що діє проти годинникової стрілки, на відстані 2 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 6 mP = 60 kN у 5 mM = 50 kN·m (проти годинникової стрілки) у 2 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 6 m від A під кутом 30° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 9 m від A. Знайдіть величину повної реакції R_A у шарнірі A.

L = 10 mP = 65 kN у 6 m, θ = 30°Q = 40 kN у 9 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 15 kN ↓D: 15 kN ↓F: 30 kN ↓G: 25 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 1 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN ←

F_AC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 6 kN/m від 0 до 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

L = 10 mP = 55 kN у 3 mw = 12 kN/m від 0 до 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 40 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 40 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 240 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 80 mm. Основа й полиці мають товщину 18 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.

b = 240 mmh = 80 mmt = 18 mm

ȳ = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 200 мм × 200 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 30 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 130 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 200 mmвиріз: 60 × 30 mmцентр отвору: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 11 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15,5 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 5,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 8 m має C_c = 0,25, C_r = 0,03 і e₀ = 0,7. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 50 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 2. Нова будівля додає 50 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 8 mC_c = 0,25C_r = 0,03e₀ = 0,7σ′₀ = 50 kPaOCR = 2Δσ = 50 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 3,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 3 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 60% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,287. За скільки років t шар досягне 60% консолідації?

H = 3,5 mc_v = 3 m²/рікU = 60%T_v = 0,287однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 5 L/s трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 50 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 5 L/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 900 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 900 mmn = 0,013S = 0,004

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 450 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 0,9 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 450 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 18 m. ККД насоса 80%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 90%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 15 L/sH = 18 mη_pump = 80%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 100 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 70%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 100 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,025ΣK = 8η = 70%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €20 000 під номінальну ставку 3,6 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 9 років.

PV = €20 0003,6% / 12n = 9

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €500 наприкінці кожного місяця протягом 7 років. Рахунок дає 6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €5006% / 12N = 84

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €40 000. Він приносить €13 500 наприкінці кожного року протягом 3 років, а потім його можна продати за €10 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €40 000CF = €13 500S = €10 000n = 3r = 12%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €150 000. Його грошовий потік становить €25 000 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 6. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €25 000g = 5%n = 6r = 8%

NPV = €

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,2358. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,2358

z =

30.Нормальний розподілСкладна

маси пакетів нормально розподілені із середнім 250 g і стандартним відхиленням 5 g. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 25% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 41,67 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 60·5 + 50 = 0

R_B = 250/6 = 41,67 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 60 − 41,67 = 18,33 kN

Відповідь

R_B = 41,67 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 58,8 kN

Складові P

P_v = 65·sin 30° = 32,5 kN

P_h = 65·cos 30° = 56,29 kN

Реакції

ΣM_A = 0: R_B·10 = 32,5·6 + 40·9 → R_B = 55,5 kN

A_y = 32,5 + 40 − 55,5 = 17 kN

A_x = P_h = 56,29 kN

Повна реакція в A

R_A = √(56,29² + 17²) = 58,8 kN

Відповідь

R_A = 58,8 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 50 kN (T), BC: 55 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 50 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 70,71 kN (C), HE: 49,5 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), BG: 7,071 kN (C), DG: 28,28 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = −2 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 − 15·2 → C_y = −1 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −1 = 26 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/4,472 = 0,4472, cos γ = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−1/0,4472 = 2,236 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(2,236)·0,8944 = −2 kN

Відповідь

F_AC = −2 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 75 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Розріжте в x = 5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 30·5 − 6·5·2,5 = 75 kN·m

Відповідь

M_x = 75 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 232,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·3 + 12·10·5

R_B = 765/10 = 76,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 175 − 76,5 = 98,5 kN

Розріжте в x = 5 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 98,5·5 − 55·(5 − 3) − 12·5·2,5 = 232,5 kN·m

Відповідь

M_x = 232,5 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 25,83 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 25,83 mm

Відповідь

δ = 25,83 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 7,594 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·3000⁴/(384·200000·8,333) = 7,594 × 10⁶ mm⁴

I_req = 7,594 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 7,594 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 52,45 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/1400² = 52453 N = 52,45 kN

Відповідь

P_cr = 52,45 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 60,29 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 60,29 mm

Відповідь

d = 60,29 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 265,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: ȳ = 22,63 mm

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 240·18 = 4320 mm², y₁ = 9 mm

дві полиці: A₂ = 2·18·62 = 2232 mm², y₂ = 18 + 62/2 = 49 mm

Центр ваги

ȳ = (4320·9 + 2232·49)/6552 = 22,63 mm

Відповідь

ȳ = 22,63 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (40000·100 − 1800·130)/(40000 − 1800) = 98,59 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·200³/12 + 40000·1,414² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·30³/12 + 1800·31,41² = 1,911 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 131,5 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 109,2 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·2 + 18,5·9 = 197,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·9 = 88,29 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 197,5 − 88,29 = 109,2 kPa

Відповідь

σ′ = 109,2 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 53,1 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2,5

σ = 16,5·1 + 18,5·2 + 17,5·2,5 = 97,25 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4,5 = 44,15 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 97,25 − 44,15 = 53,1 kPa

Відповідь

σ′ = 53,1 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 42,5 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·50 = 100 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 50 + 50 = 100 kPa ≤ 100 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·8/(1 + 0,7)·log₁₀(100/50) = 42,5 mm

Відповідь

S = 42,5 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 1,172 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 3,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,287·3,5²/3 = 1,172 роки

Відповідь

t = 1,172 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 88,29 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·3 = 88,29 kN

Відповідь

F = 88,29 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 140,3 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2,5/2 = 3,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·3,25·5 = 140,3 kN

Відповідь

F = 140,3 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 198,3 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,05²/4 = 0,001963 m²

V = Q/A = 0,005/0,001963 = 2,546 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,05)·2,546²/(2·9,81) = 198,3 m

Відповідь

h_f = 198,3 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 6,949 m

Швидкість

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Сумарні втрати напору

h_f = 7,2·0,4759 = 3,427 m

h_m = 7,4·0,4759 = 3,522 m

Δz = h_f + h_m = 6,949 m

Відповідь

Δz = 6,949 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 1,145 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,6362 m², R = D/4 = 0,225 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,225^2/3·0,004^1/2 = 1,8 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,6362·1,8 = 1,145 m³/s

Відповідь

Q = 1,145 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,002521 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,45/4 = 0,1125 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,233)² = 0,002521

Відповідь

S = 0,002521

Це зниження на 2,521 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 3,679 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·18 = 2,649 kW

Потужність на валу

P_shaft = 2,649/0,8 = 3,311 kW

Електрична потужність

P_el = 3,311/0,9 = 3,679 kW

Відповідь

P_el = 3,679 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 15,31 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,2115 = 5,923 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 5 + 5,923 = 10,92 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·10,92/0,7 = 15,31 kW

Відповідь

P_shaft = 15,31 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 27640 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·9 = 108

Майбутня вартість

FV = 20 000·(1 + 0,003)¹⁰⁸ = 20 000·1,382 = €27 639,54

Відповідь

FV = €27 639,54

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 52037 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·7 = 84

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(1,52 − 1)/0,005 = €52 036,96

Відповідь

FV = €52 036,96

Самі ви внесли €42 000; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −457,5 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

13 500·2,402 = 32 424,72

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

10 000/1,405 = 7 117,80

NPV

NPV = −40 000 + 32 424,72 + 7 117,80 = −€457,48

Відповідь

NPV = −€457,48

28.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −20406 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,05)/(1,08))⁶ = 0,8445

PV = 25 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,8445) = 129 593,69

NPV

NPV = 129 593,69 − 150 000 = −€20 406,31

Відповідь

NPV = −€20 406,31

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 0,3

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,2358)/2 = 0,6179

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,6179 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 0,30

Відповідь

z = 0,30

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 253,4 g

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,75

z з таблиці

z ≈ 0,67

Назад до початкових одиниць

x = 250 + 0,67·5 = 253,4 g

Відповідь

x = 253,4 g

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil