Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 6 mP₁ = 60 kN у 1 mP₂ = 20 kN у 3 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP = 35 kN у 1 mw = 6 kN/m від 0 до 3 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 30 kN ↓C: 10 kN ↓G: 25 kN ↓H: 15 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 3 m від Aвертикальне навантаження = 25 kNгоризонтальне навантаження = 10 kN →

F_BC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

40 kN @ 6 m15 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 7 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mP = 55 kN у 7 mw = 10 kN/m від 0 до 10 mx = 7 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 16 kNw = 12 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Кругла труба має зовнішній діаметр D = 240 mm і внутрішній діаметр d = 208 mm. Знайдіть її радіус інерції r відносно горизонтальної центральної осі.

D = 240 mmd = 208 mm

r = mm

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 200 × 20 mm, стінку висотою 390 mm і товщиною 8 mm та нижню полицю 160 × 10 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 200 × 20 mmстінка: 8 × 390 mmнижня полиця: 160 × 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³глина: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 2,5 m має C_c = 0,35, C_r = 0,03 і e₀ = 1,05. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 60 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 3. Нова будівля додає 110 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 2,5 mC_c = 0,35C_r = 0,03e₀ = 1,05σ′₀ = 60 kPaOCR = 3Δσ = 110 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 8,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 1,2 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 50% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,197. За скільки років t шар досягне 50% консолідації?

H = 8,5 mc_v = 1,2 m²/рікU = 50%T_v = 0,197однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 60 L/s трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 60 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 250 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 10). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 10

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 1200 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,0005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (оброблений бетон) шириною 2 m має пропускати 2 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,9 m. n Маннінга = 0,012. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 2 m³/sb = 2 my = 0,9 mn = 0,012

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 78% подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 50 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 15 L/sH = 50 mη = 78%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 20 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 20 L/sΔz = 20 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,025ΣK = 5

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €1 000 під 4 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 7 років.

PV = €1 000r = 4%t = 7

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Іпотечний кредит €250 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 25 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 17? Знайдіть залишок боргу B.

P = €250 0004,8% / 12N = 300k = 204

B = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €29 000, €19 000, €19 000, €16 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 29 000CF₂ = 19 000CF₃ = 19 000CF₄ = 16 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €10 000 і приносить €5 500, €7 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 7 000

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 99,9 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 99,9 s

P =

30.Нормальний розподілСкладна

значення зросту дорослих чоловіків нормально розподілені із середнім 178 cm і стандартним відхиленням 7 cm. Перетягніть межу так, щоб заштриховані нижні 30% були ліворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm30%

x = cm

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 60 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 20·3

R_B = 120/6 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 20 = 60 kN

Відповідь

R_A = 60 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 10,33 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·1 + 6·3·1,5

R_B = 62/6 = 10,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 53 − 10,33 = 42,67 kN

Відповідь

R_B = 10,33 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 58,33 kN (T), BC: 58,33 kN (T), CD: 48,33 kN (T), DE: 48,33 kN (T), FG: 76,67 kN (C), GH: 76,67 kN (C), AF: 72,92 kN (C), HE: 60,42 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 22,92 kN (T), HC: 35,42 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −31,97 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·3 + 10·2 → C_y = 11,88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 11,88 = 13,13 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11,88/0,3714 = −31,97 kN

Відповідь

F_BC = −31,97 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 107,5 kN, R₂ = 82,5 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 185, M_C = 310, M_D = 375 kN·m, M_E = 300, M_F = 165, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 375 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 220,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·7 + 10·10·5

R_B = 885/10 = 88,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 88,5 = 66,5 kN

Розріжте в x = 7 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 66,5·7 − 10·7·3,5 = 220,5 kN·m

Відповідь

M_x = 220,5 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 31,9 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·6,27 × 10¹¹) = 31,9 mm

Відповідь

δ = 31,9 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 6,654 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 16000 N, w = 12 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·2500³/(48·1,7 × 10¹²) = 3,064 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 3,59 mm

Додайте

δ_max = 3,064 + 3,59 = 6,654 mm

Відповідь

δ_max = 6,654 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 4,211 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·5000 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/5000² = 4211 N = 4,211 kN

Відповідь

P_cr = 4,211 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 35,25 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Відповідь

σ_cr = 35,25 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: r = 79,4 mm

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна. Радіус інерції r = √(I/A) — це відстань, на якій уся площа дала б той самий I; його використовують у розрахунку колон на стійкість.

Площа нетто і момент інерції нетто

A = π(D² − d²)/4 = 11259 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,098 × 10⁷ mm⁴

Радіус інерції

r = √(I/A) = √(7,098 × 10⁷/11259) = 79,4 mm

Відповідь

r = 79,4 mm

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 243,1 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 4000 mm², y = 410 mm

стінка: A = 3120 mm², y = 205 mm

нижня полиця: A = 1600 mm², y = 5 mm

Центр ваги

ȳ = (4000·410 + 3120·205 + 1600·5)/8720 = 262,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 200·20³/12 + 4000·147,7² = 8,735 × 10⁷ mm⁴

стінка: 8·390³/12 + 3120·57,34² = 4,98 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 160·10³/12 + 1600·257,3² = 1,06 × 10⁸ mm⁴

I_x = 8,735 × 10⁷ + 4,98 × 10⁷ + 1,06 × 10⁸

I_x = 2,431 × 10⁸ mm⁴ = 243,1 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 243,1 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 50,76 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 18,5·4 = 90 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 90 − 39,24 = 50,76 kPa

Відповідь

σ′ = 50,76 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 91,57 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 17·4 + 19·1 + 17·2 = 121 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·3 = 29,43 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 121 − 29,43 = 91,57 kPa

Відповідь

σ′ = 91,57 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 16,55 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·60 = 180 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 60 + 110 = 170 kPa ≤ 180 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,03·2,5/(1 + 1,05)·log₁₀(170/60) = 16,55 mm

Відповідь

S = 16,55 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 11,86 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 8,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,197·8,5²/1,2 = 11,86 роки

Відповідь

t = 11,86 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 193,1 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,25·3,75 = 193,1 kN

Відповідь

F = 193,1 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,083 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·4·6 = 207,2 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2/(4·6) = 4,083 m

Відповідь

y_cp = 4,083 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 5,876 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,15²/4 = 0,01767 m²

V = Q/A = 0,06/0,01767 = 3,395 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 3,395²/(2·9,81) = 0,5876 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,15)·3,395²/(2·9,81) = 5,876 m

Відповідь

h_f = 5,876 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 1,927 m

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·150/0,25 = 13,2

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 10 = 11,1

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 13,2 + 11,1)·0,07615 = 1,927 m

Відповідь

H = 1,927 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,8718 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 1,131 m², R = D/4 = 0,3 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,0005^1/2 = 0,7708 m/s

Витрата

Q = A·V = 1,131·0,7708 = 0,8718 m³/s

Відповідь

Q = 0,8718 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0004815 m/m

Геометрія

A = b·y = 2·0,9 = 1,8 m²

P = b + 2y = 2 + 2·0,9 = 3,8 m

R = A/P = 0,4737 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,012·2/(1,8·0,6077) = 0,02194

S = 0,02194² = 0,0004815

Відповідь

S = 0,0004815

Це зниження на 0,4815 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 9,433 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·50 = 7,357 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 7,357/0,78 = 9,433 kW

Відповідь

P_shaft = 9,433 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 29,92 m

Швидкість

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 5)·0,3305 = 9,915 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 20 + 9,915 = 29,92 m

Відповідь

H = 29,92 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 1323 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,04·7 = 0,28

e^0,28 = 1,323

Майбутня вартість

FV = 1 000·1,323 = €1 323,13

Відповідь

FV = €1 323,13

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: B = 114007 €

Щомісячний платіж

i = 0,004, N = 300

A = 250 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻³⁰⁰) = €1 432,49

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 300 − 204 = 96

B = 1432·(1 − (1 + 0,004)⁻⁹⁶)/0,004 = €114 007,29

Відповідь

B = €114 007,29

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 4732 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 29 000/1,12 = 25 892,86

CF₂/(1 + 0,12)² = 19 000/1,254 = 15 146,68

CF₃/(1 + 0,12)³ = 19 000/1,405 = 13 523,82

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 16 000/1,574 = 10 168,29

Додайте

NPV = €4 731,65

Відповідь

NPV = €4 731,65

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 15,57 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(15%) = 75,61

NPV(20%) = −555,56

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 15 + 5·75,61/(75,61 − (−555,56)) = 15,6%

точно: NPV(15,57%) = 0 → IRR = 15,57%

Відповідь

IRR = 15,57%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (99,9 − 105)/6,403 = −0,8

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 174,4 cm

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,3

z з таблиці

z ≈ −0,52

Назад до початкових одиниць

x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm

Відповідь

x = 174,4 cm

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil