Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP₁ = 45 kN у 2 mP₂ = 30 kN у 2,5 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 6 mP = 50 kN у 2,5 mw = 6 kN/m від 1 до 2 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

F: 25 kN ↓H: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

C: 10 kN ↓D: 35 kN ↓F: 35 kN ↓F: 15 kN →G: 15 kN ↓H: 20 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Балка спирається на нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B і має консоль довжиною 1 m за B до вільного кінця C. Вона навантажена зосередженою силою P₁ між опорами і зосередженою силою P₂ у C. Знайдіть згинальний момент M_x під силою P₁. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP₁ = 40 kN у 1 mP₂ = 35 kN у 5 mопори в x = 0 і x = 4 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 2,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 5 mP = 50 kN у 2,5 mw = 5 kN/m від 0 до 5 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 1,5 m від опори B. Знайдіть прогин δ_mid посередині прольоту.

P = 22 kNb = 1,5 mL = 4 mE = 11 GPa (конструкційна деревина)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (алюміній)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 120 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 120 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 180 × 12 mm, стінку висотою 220 mm і товщиною 10 mm та нижню полицю 290 × 20 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 180 × 12 mmстінка: 10 × 220 mmнижня полиця: 290 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 5 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 6,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 2,5 m має C_c = 0,4, C_r = 0,02 і e₀ = 0,7. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 90 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 2. Нова будівля додає 40 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 2,5 mC_c = 0,4C_r = 0,02e₀ = 0,7σ′₀ = 90 kPaOCR = 2Δσ = 40 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 6,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 1 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 90% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,848. За скільки років t шар досягне 90% консолідації?

H = 6,5 mc_v = 1 m²/рікU = 90%T_v = 0,848однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,8 m/s трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 50 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,8 m/sL = 400 mD = 50 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 250 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 5). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 600 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,003. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 600 mmn = 0,013S = 0,003

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 600 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 0,6 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 600 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 34 m. ККД насоса 85%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 90%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 80 L/sH = 34 mη_pump = 85%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 32 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 65%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 80 L/sΔz = 32 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €20 000 під 5 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 19 років.

PV = €20 000r = 5%t = 19

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви позичаєте €10 000 під 6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €250. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.

P = €10 000A = €2506% / 12

N = платежів

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €11 000, €12 000, €8 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 12 000CF₃ = 8 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт A коштує €10 000 і приносить €5 500, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €20 000 і приносить €5 000, €8 000, €11 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.

A: −10 000, 5 500, 4 000, 2 500B: −20 000, 5 000, 8 000, 11 000

r* = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 53,5 і 80 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 65σ = 10x₁ = 53,5x₂ = 80

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 90%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 33,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·2 + 30·2,5

R_B = 165/4 = 41,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 41,25 = 33,75 kN

Відповідь

R_A = 33,75 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 22,33 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN, прикладена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2,5 + 6·1·1,5

R_B = 134/6 = 22,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 22,33 = 33,67 kN

Відповідь

R_B = 22,33 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 31,67 kN (T), BC: 30 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 28,33 kN (T), FG: 31,67 kN (C), GH: 28,33 kN (C), AF: 39,58 kN (C), HE: 35,42 kN (C), BF: 1,25 kN (C), CG: 0, DH: 1,25 kN (T), BG: 2,083 kN (T), DG: 2,083 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент BF

Вузол B

AB і BC лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 63,75 kN (T), BC: 63,75 kN (T), CD: 66,25 kN (T), DE: 66,25 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 68,94 kN (C), HE: 93,69 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 19,45 kN (T), HC: 15,91 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: BF

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 21,25 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки. Сила на консолі теж створює момент відносно A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1 + 35·5

R_B = 215/4 = 53,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 53,75 = 21,25 kN

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину

M_x = R_A·1 = 21,25·1 = 21,25 kN·m

Відповідь

M_x = 21,25 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 78,13 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, прикладена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2,5 + 5·5·2,5

R_B = 187,5/5 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 37,5 = 37,5 kN

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 37,5·2,5 − 5·2,5·1,25 = 78,13 kN·m

Відповідь

M_x = 78,13 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 28,57 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 15·4000⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 28,57 mm

Відповідь

δ = 28,57 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_mid = 42,76 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 22000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Прогин посередині прольоту

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 22000·1500·(3·4000² − 4·1500²)/(48·6,27 × 10¹¹) = 42,76 mm

Відповідь

δ_mid = 42,76 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 83,55 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/2100² = 83552 N = 83,55 kN

Відповідь

P_cr = 83,55 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 88,71 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·120000 = 240000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 88,71 mm

Відповідь

d = 88,71 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 225,5, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 21,87 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

стінка: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·195 + 2160·90)/6360 = 159,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·30³/12 + 4200·(195 − 159,3)² = 5,656 × 10⁶ mm⁴

стінка: 12·180³/12 + 2160·(90 − 159,3)² = 1,622 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,656 × 10⁶ + 1,622 × 10⁷ = 2,187 × 10⁷ mm⁴ = 21,87 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 21,87 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 102,1 × 10⁶ mm⁴

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2160 mm², y = 246 mm

стінка: A = 2200 mm², y = 130 mm

нижня полиця: A = 5800 mm², y = 10 mm

Центр ваги

ȳ = (2160·246 + 2200·130 + 5800·10)/10160 = 86,16 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 180·12³/12 + 2160·159,8² = 5,521 × 10⁷ mm⁴

стінка: 10·220³/12 + 2200·43,84² = 1,31 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 290·20³/12 + 5800·76,16² = 3,383 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,521 × 10⁷ + 1,31 × 10⁷ + 3,383 × 10⁷

I_x = 1,021 × 10⁸ mm⁴ = 102,1 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 102,1 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 87,5 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·4 + 19,5·1 = 87,5 kPa

Відповідь

σ = 87,5 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 66,54 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2,5

σ = 17·1 + 19,5·3 + 18·2,5 = 120,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5,5 = 53,96 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 120,5 − 53,96 = 66,54 kPa

Відповідь

σ′ = 66,54 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 4,697 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·90 = 180 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 90 + 40 = 130 kPa ≤ 180 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·2,5/(1 + 0,7)·log₁₀(130/90) = 4,697 mm

Відповідь

S = 4,697 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 35,83 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 6,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,848·6,5²/1 = 35,83 роки

Відповідь

t = 35,83 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 55,18 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1 = 2,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·2,5 = 55,18 kN

Відповідь

F = 55,18 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 58,86 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,5·4 = 58,86 kN

Відповідь

F = 58,86 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 79,92 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,8²/(2·9,81) = 0,3996 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(400/0,05)·2,8²/(2·9,81) = 79,92 m

Відповідь

h_f = 79,92 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 1,089 m

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·100/0,25 = 7,2

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 = 6,1

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 7,2 + 6,1)·0,07615 = 1,089 m

Відповідь

H = 1,089 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,1682 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,1414 m², R = D/4 = 0,15 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,15^2/3·0,003^1/2 = 1,189 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,1414·1,189 = 0,1682 m³/s

Відповідь

Q = 0,1682 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0007634 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,6/4 = 0,15 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,2823)² = 0,0007634

Відповідь

S = 0,0007634

Це зниження на 0,7634 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 34,88 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·34 = 26,68 kW

Потужність на валу

P_shaft = 26,68/0,85 = 31,39 kW

Електрична потужність

P_el = 31,39/0,9 = 34,88 kW

Відповідь

P_el = 34,88 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 50,61 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0,3305 = 9,915 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 32 + 9,915 = 41,92 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·41,92/0,65 = 50,61 kW

Відповідь

P_shaft = 50,61 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 51714 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,05·19 = 0,95

e^0,95 = 2,586

Майбутня вартість

FV = 20 000·2,586 = €51 714,19

Відповідь

FV = €51 714,19

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: N = 45 платежів

Перетворіть формулу ануїтету

i = 0,005

(1 + i)^−N = 1 − 10 000·0,005/250 = 0,8

Розв’язання за допомогою логарифмів

N = −ln(0,8)/ln(1,005) = 44,74

Округлення вгору до повних платежів

Після 44 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.

N = 45

Відповідь

N = 45 платежів

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −2226 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 11 000/1,06 = 10 377,36

CF₂/(1 + 0,06)² = 12 000/1,124 = 10 679,96

CF₃/(1 + 0,06)³ = 8 000/1,191 = 6 716,95

Додайте

NPV = €−2 225,73

Відповідь

NPV = €−2 225,73

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: r* = 6,863 %

Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.

Різниця грошових потоків

ΔCF₀ = −20 000 − (−10 000) = −10 000

ΔCF₁ = 5 000 − 5 500 = −500

ΔCF₂ = 8 000 − 4 000 = 4 000

ΔCF₃ = 11 000 − 2 500 = 8 500

IRR різниці

NPV_Δ(6%) = 225,05

NPV_Δ(7%) = −35,00

r* = 6,863%

Відповідь

r* = 6,863%

Перевірка: при 6,863% обидві NPV дорівнюють €698,04.

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8081

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (53,5 − 65)/10 = −1,15

z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Площа між

P = Φ(1,5) − Φ(−1,15) = 0,9332 − 0,1251 = 0,8081

Відповідь

P = 0,8081

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 77,82 балів

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 65 + 1,282·10 = 77,82 балів

Відповідь

x = 77,82 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil

Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Метод

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод

Поперечна сила і згинальний момент

Метод

Прогин балки

Стійкість колон

Центр ваги й момент інерції

Ефективне напруження в ґрунті

Консолідаційне осідання

Гідростатична сила

Тертя в трубах і втрати напору

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Насоси й потужність насосів

Вартість грошей у часі

Метод

NPV і IRR

Метод

Нормальний розподіл

Метод

2Задачі для практики

3Розчини

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Розрахункова схема

Рівновага

Відповідь

Вузол C

Перевірка методом вузлів

Відповідь

Вузол B

Перевірка методом вузлів

Відповідь

Опорні реакції

Переріз під P1, залишаємо ліву частину

Відповідь

Опорні реакції

Розріжте в x = 2,5 m і залиште ліву частину

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин

Відповідь

Узгоджені одиниці

Прогин посередині прольоту

Відповідь

Найменший момент інерції

Розрахункова довжина

Критична сила

Відповідь

Потрібна критична сила

Виразіть діаметр

Відповідь

Поділіть на два прямокутники

Центр ваги

Теорема про паралельне перенесення осей

Відповідь

Розділіть на три прямокутники

Центр ваги

Теорема про паралельне перенесення осей

Відповідь

Повне напруження

Відповідь

Повне напруження

Поровий тиск

Ефективне напруження

Відповідь

Тиск попереднього ущільнення

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

Осідання

Відповідь

Шлях фільтрації

Час

Відповідь

Глибина центра ваги і площа

Рівнодійна сила

Відповідь

Переріз під P₁, залишаємо ліву частину