Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 5 mP₁ = 40 kN у 2 mP₂ = 40 kN у 2,5 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (5 m від A) і спирається на рухому опору в D (10 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 6 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD і зосередженою силою Q на відстані 2 m від A. Знайдіть реакцію R_D рухомої опори.

AC = 5 mAD = 10 mP = 50 kN у 6 mw = 8 kN/m від 5 до 10 mQ = 70 kN у 2 m

R_D = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 3 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 60 kN

F_AC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 40 kN ↓F: 15 kN ↓H: 25 kN ↓H: 20 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

35 kN @ 2 m12 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 6 mP = 20 kN у 3,5 mw = 8 kN/m від 0 до 6 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена зосередженою силою P посередині прольоту. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 5 mP = 15 kN у 2,5 m

R_B = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (сталь)d = 25 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 100 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 96 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 100 mmh = 240 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 96 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 20 kN·m. Знайдіть напруження згину σ_низ на нижньому краї.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_низ = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 17 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 9 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 7 m має C_c = 0,3, C_r = 0,04 і e₀ = 0,8. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 55 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 1,5. Нова будівля додає 170 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 7 mC_c = 0,3C_r = 0,04e₀ = 0,8σ′₀ = 55 kPaOCR = 1,5Δσ = 170 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 20 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 4 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 5 m. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 20 mmt_lab = 4 minH = 5 mприродний шар: однобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,8 m/s горизонтальною трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,8 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0,022ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,025. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Δz = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 750 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,0005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,0005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (гравій) шириною 2 m має пропускати 3,5 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 3,5 m³/sb = 2 my = 2 mn = 0,025

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 70 m. ККД насоса 80%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 88%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 15 L/sH = 70 mη_pump = 80%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 10 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 250 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 40 L/sΔz = 10 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6p_tank = 250 kPa

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €10 000. Очікується, що дохід зростатиме на 3 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 9 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €10 000g = 3%r = 9%

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 22 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 3 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 22? Знайдіть FV.

A = €6 000i = 3%n = 22

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €23 500, €15 500, €19 000, €24 500 наприкінці років з 1 по 4. Вартість капіталу — 8 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 23 500CF₂ = 15 500CF₃ = 19 000CF₄ = 24 500

DPB = роки

28.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €20 000 приносить €3 500 наприкінці кожного року протягом 7 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €20 000CF = €3 500n = 7

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 108,2 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 108,2 s

P =

30.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 95% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів95%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 44 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2 + 40·2,5

R_B = 180/5 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 36 = 44 kN

Відповідь

R_A = 44 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_D = 30 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 8·5 = 40 kN у 2,5 m від C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 50·1 + 40·2,5

R_D = 30 kN

V_C = 90 − 30 = 60 kN

Відповідь

R_D = 30 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 30 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 60·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 15 = 45 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,4472 = −33,54 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33,54)·0,8944 = 30 kN

Відповідь

F_AC = 30 kN (розтяг)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 48,33 kN (T), BC: 43,33 kN (T), CD: 43,33 kN (T), DE: 38,33 kN (T), FG: 68,33 kN (C), GH: 58,33 kN (C), AF: 85,42 kN (C), HE: 47,92 kN (C), BF: 36,25 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (T), BG: 6,25 kN (T), DG: 6,25 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 6 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 61,17 kN, R₂ = 69,83 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 122,3, M_C = 174,7, M_D = 203 kN·m, M_E = 183,3, M_F = 115,7, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 203 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 64,17 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3,5 + 8·6·3

R_B = 214/6 = 35,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 68 − 35,67 = 32,33 kN

Де V = 0?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 4,333 kN

V(3,5⁺) = 4,333 − 20 = −15,67 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 32,33·3,5 − 8·3,5²/2 = 64,17 kN·m

Відповідь

M_max = 64,17 kN·m

Це в точці x = 3,5 m від A.

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 28,42 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 2·6000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 28,42 mm

Відповідь

δ = 28,42 mm

8.Прогин балки

Відповідь: R_B = 4,688 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·15/16 = 4,688 kN

Відповідь

R_B = 4,688 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 9,462 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 1·2000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2000² = 9462 N = 9,462 kN

Відповідь

P_cr = 9,462 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 2,763 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/20 = 500

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/500² = 2,763 MPa

Відповідь

σ_cr = 2,763 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 113,7 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (24000·120 − 1963·96)/(24000 − 1963) = 122,1 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

100·240³/12 + 24000·−2,138² = 115,3 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−26,14² = 1,648 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 113,7 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 113,7 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_низ = 203 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

стінка: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·207,5 + 1600·100)/3700 = 161 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 140·15³/12 + 2100·(207,5 − 161)² = 4,577 × 10⁶ mm⁴

стінка: 8·200³/12 + 1600·(100 − 161)² = 1,129 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,577 × 10⁶ + 1,129 × 10⁷ = 1,587 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

Нижній край на відстані ȳ від осі.

y = 161 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·161/1,587 × 10⁷ = 203 MPa

Відповідь

σ_низ = 203 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 81,33 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·1 + 19·7 = 150 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 150 − 68,67 = 81,33 kPa

Відповідь

σ′ = 81,33 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 107,9 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 16,5·4 + 18,5·2 + 18·3 = 157 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 157 − 49,05 = 107,9 kPa

Відповідь

σ′ = 107,9 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 535,7 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·55 = 82,5 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 55 + 170 = 225 kPa > 82,5 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,04·7/(1 + 0,8)·log₁₀(82,5/55) + 0,3·7/(1 + 0,8)·log₁₀(225/82,5)

S = 27,39 + 508,3 = 535,7 mm

Відповідь

S = 535,7 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 694,4 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 4·(5/0,01)² = 1 × 10⁶ min

t_field = 1 × 10⁶/1440 = 694,4 днів

Відповідь

t = 694,4 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 19,62 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·1 = 19,62 kN

Відповідь

F = 19,62 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 117,7 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Відповідь

F = 117,7 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 34,5 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(100/0,25)·2,8²/(2·9,81) = 3,516 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·3,516 = 34496 Pa = 34,5 kPa

Відповідь

Δp = 34,5 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 8,584 m

Швидкість

V = Q/A = 0,15/0,07069 = 2,122 m/s

V²/(2g) = 0,2295 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·300/0,3 = 25

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Сумарні втрати напору

h_f = 25·0,2295 = 5,738 m

h_m = 12,4·0,2295 = 2,846 m

Δz = h_f + h_m = 8,584 m

Відповідь

Δz = 8,584 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,1245 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,2209 m², R = D/4 = 0,1875 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,0005^1/2 = 0,5635 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,2209·0,5635 = 0,1245 m³/s

Відповідь

Q = 0,1245 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0008216 m/m

Геометрія

A = b·y = 2·2 = 4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2 = 6 m

R = A/P = 0,6667 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·3,5/(4·0,7631) = 0,02866

S = 0,02866² = 0,0008216

Відповідь

S = 0,0008216

Це зниження на 0,8216 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 14,63 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·70 = 10,3 kW

Потужність на валу

P_shaft = 10,3/0,8 = 12,88 kW

Електрична потужність

P_el = 12,88/0,88 = 14,63 kW

Відповідь

P_el = 14,63 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 42,27 m

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0,2611 = 6,79 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 10 + 25,48 + 6,79 = 42,27 m

Відповідь

H = 42,27 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 166667 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0,09 − 0,03) = 10 000/0,06 = €166 666,67

Відповідь

PV = €166 666,67

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 188717 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,03)²² − 1)/0,03 = 30,54

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 6 000·30,54·1,03 = €188 717,30

Відповідь

FV = €188 717,30

27.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 3,548 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 23 500/1,08 = 21 759,26 → Σ = 21 759,26

рік 2: 15 500/1,166 = 13 288,75 → Σ = 35 048,01

рік 3: 19 000/1,26 = 15 082,81 → Σ = 50 130,82

рік 4: 24 500/1,36 = 18 008,23 → Σ = 68 139,05

Частка останнього року

DPB = 3 + 9 869,18/18 008,23 = 3,548

Відповідь

DPB = 3,548 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,082 років).

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 5,347 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁷)/i = 20 000/3 500 = 5,714

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 5%: 5,786

i = 6%: 5,582

IRR = 5,347%

Відповідь

IRR = 5,347%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,3085

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (108,2 − 105)/6,403 = 0,5

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Відповідь

P = 0,3085

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 48,6 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,05

z з таблиці

z ≈ −1,64

Назад до початкових одиниць

x = 65 − 1,64·10 = 48,6 балів

Відповідь

x = 48,6 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil