Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 10 mP₁ = 45 kN у 8 mP₂ = 20 kN у 9 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює нулю біля стіни й зростає до 10 kN/m на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 4 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 10 mw₀ = 10 kN/mP = 30 kN у 4 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 2 mB на відстані 7 m від Aвертикальне навантаження = 30 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 8 mвисота = 4 mB на відстані 5 m від Aвертикальне навантаження = 10 kNгоризонтальне навантаження = 30 kN ←

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 3 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 12 kN/m від 0 до 8 mx = 3 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mP = 75 kN у 5 mw = 6 kN/m від 0 до 10 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. Знайдіть прогин δ вільного кінця.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 2 m від опори B. Знайдіть прогин δ_mid посередині прольоту.

P = 4 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 5 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Знайдіть момент інерції I_x таврового перерізу відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 130 mm і товщиною 14 mm, повну висоту 200 mm і стінку товщиною 8 mm. Він сприймає згинальний момент 80 kN·m відносно осі x. Знайдіть величину максимального нормального напруження при згині σ_max у перерізі.

B = 130 mmH = 200 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³

u = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 7,5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 7 m має C_c = 0,5, C_r = 0,03 і e₀ = 1,2. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 60 kPa і тиск попереднього ущільнення 170 kPa. Нова будівля додає 180 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 7 mC_c = 0,5C_r = 0,03e₀ = 1,2σ′₀ = 60 kPaσ′_p = 170 kPaΔσ = 180 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 20 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 12 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 6 m. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 20 mmt_lab = 12 minH = 6 mприродний шар: двобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 4 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 1,2 m/s трубою довжиною 800 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 1,2 m/sL = 800 mD = 150 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Поверхня води у верхньому резервуарі на 30 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 30 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 1200 mm працює повністю заповненим (як відкритий канал, не під тиском). n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 1200 mmn = 0,013S = 0,002

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 250 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 0,75 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 0,75 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 80% подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 24 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sH = 24 mη = 80%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 31 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 82%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 31 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 6η = 82%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Через 10 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 3,6 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €40 0003,6% / 4n = 10

PV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €2 500 на початку кожного року протягом 27 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 3 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 27? Знайдіть FV.

A = €2 500i = 3%n = 27

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €20 000, служить 7 років, а його експлуатація коштує €3 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €20 000M = €3 000n = 7r = 10%

EAC = €

28.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €10 000 приносить €4 000 наприкінці кожного року протягом 4 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €10 000CF = €4 000n = 4

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,9676. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9676

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 54 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·8 + 20·9

R_B = 540/10 = 54 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 54 = 11 kN

Відповідь

R_B = 54 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 453,3 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·10·10 = 50 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 50·6,667 + 30·4 = 453,3 kN·m

Відповідь

M_A = 453,3 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −13,65 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 30·7 → C_y = 26,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 26,25 = 3,75 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/7,28 = 0,2747

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3,75/0,2747 = −13,65 kN

Відповідь

F_AB = −13,65 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −30,01 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·5 − 30·4 → C_y = −8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −8,75 = 18,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/6,403 = 0,6247

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −18,75/0,6247 = −30,01 kN

Відповідь

F_AB = −30,01 kN (стиск)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 12 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

Розріжте в x = 3 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 48 − 12·3 = 12 kN

Відповідь

V_x = 12 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 262,5 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 75·5 + 6·10·5

R_B = 675/10 = 67,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 67,5 = 67,5 kN

Де V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 37,5 kN

V(5⁺) = 37,5 − 75 = −37,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 67,5·5 − 6·5²/2 = 262,5 kN·m

Відповідь

M_max = 262,5 kN·m

Це в точці x = 5 m від A.

7.Прогин балки

Відповідь: δ = 17,14 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Прогин

δ = wL⁴/(8EI) = 6·4000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 17,14 mm

Відповідь

δ = 17,14 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_mid = 1,171 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 4000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Прогин посередині прольоту

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 4000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·8,4 × 10¹²) = 1,171 mm

Відповідь

δ_mid = 1,171 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 42,11 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·2500 = 5000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·533333/5000² = 42110 N = 42,11 kN

Відповідь

P_cr = 42,11 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 8,812 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/12,5 = 280

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Відповідь

σ_cr = 8,812 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 35,06 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192,5 mm

стінка: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·192,5 + 3600·90)/10600 = 157,7 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 280·25³/12 + 7000·(192,5 − 157,7)² = 8,847 × 10⁶ mm⁴

стінка: 20·180³/12 + 3600·(90 − 157,7)² = 2,621 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,847 × 10⁶ + 2,621 × 10⁷ = 3,506 × 10⁷ mm⁴ = 35,06 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 35,06 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_max = 229 MPa

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 200 − 2·14 = 172 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·200³ − 122·172³)/12

I_x = 3,493 × 10⁷ mm⁴

Напруження згину

y = 100 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·100/3,493 × 10⁷ = 229 MPa

Відповідь

σ_max = 229 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 19,62 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Відповідь

u = 19,62 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 63,77 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·6,5 = 63,77 kPa

Відповідь

u = 63,77 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 281,4 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 60 + 180 = 240 kPa > 170 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,03·7/(1 + 1,2)·log₁₀(170/60) + 0,5·7/(1 + 1,2)·log₁₀(240/170)

S = 43,17 + 238,3 = 281,4 mm

Відповідь

S = 281,4 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 750 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 6/2 = 3 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 12·(3/0,01)² = 1,08 × 10⁶ min

t_field = 1,08 × 10⁶/1440 = 750 днів

Відповідь

t = 750 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 82,77 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·2,25 = 82,77 kN

Відповідь

F = 82,77 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 4,519 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·4,5·1,5 = 67,87 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·1³/12 = 0,125 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4,5 + 0,125/(4,5·1,5) = 4,519 m

Відповідь

y_cp = 4,519 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 7,829 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,2²/(2·9,81) = 0,07339 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(800/0,15)·1,2²/(2·9,81) = 7,829 m

Відповідь

h_f = 7,829 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 314,7 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·300/0,3 = 22

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

30 = (22 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·30/29,7) = 4,452 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,452·0,07069 = 0,3147 m³/s = 314,7 L/s

Відповідь

Q = 314,7 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 1,744 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 1,131 m², R = D/4 = 0,3 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,3^2/3·0,002^1/2 = 1,542 m/s

Витрата

Q = A·V = 1,131·1,542 = 1,744 m³/s

Відповідь

Q = 1,744 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,003833 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,75/0,1575)² = 0,003833

Відповідь

S = 0,003833

Це зниження на 3,833 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 14,71 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·24 = 11,77 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 11,77/0,8 = 14,71 kW

Відповідь

P_shaft = 14,71 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 25,87 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,01767 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (24 + 6)·0,408 = 12,24 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 31 + 12,24 = 43,24 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·43,24/0,82 = 25,87 kW

Відповідь

P_shaft = 25,87 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 27952 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·10 = 40

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,431 = €27 952,03

Відповідь

PV = €27 952,03

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 104827 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,03)²⁷ − 1)/0,03 = 40,71

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 2 500·40,71·1,03 = €104 827,31

Відповідь

FV = €104 827,31

27.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 7108 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,1⁻⁷)/0,1 = 4,868

Ціна придбання, перерахована на рік

20 000/4,868 = 4 108,11

EAC

EAC = 4 108,11 + 3 000 = €7 108,11

Відповідь

EAC = €7 108,11

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 21,86 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 10 000/4 000 = 2,5

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 21%: 2,54

i = 22%: 2,494

IRR = 21,86%

Відповідь

IRR = 21,86%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 2,14

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,9676)/2 = 0,9838

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9838 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 2,14

Відповідь

z = 2,14

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7389

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Відповідь

P = 0,7389

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil