Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 2 m від A і зосередженим моментом M, що діє проти годинникової стрілки, на відстані 6 m від A. Знайдіть вертикальну реакцію R_B, вважаючи напрямок угору додатним.

L = 8 mP = 20 kN у 2 mM = 50 kN·m (проти годинникової стрілки) у 6 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 4 mP = 50 kN у 1,5 mw = 4 kN/m від 0 до 2 m

R_B = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 40 kN ↓G: 25 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 20 kN ↓C: 20 kN ↓F: 35 kN ↓F: 40 kN →G: 35 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

60 kN @ 8 m5 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

30 kN @ 12 m10 kN @ 4 m6 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 9 kNa = 1,5 mL = 3 mE = 70 GPa (алюміній)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (алюміній)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σ_cr за формулою Ейлера.

L = 1,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 240 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 168 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 15 kN·m. Знайдіть величину напруження згину σ_верх на верхньому краї.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mmM = 15 kN·m

σ_верх = MPa

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 7 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 3 m має C_c = 0,25, C_r = 0,04 і e₀ = 0,8. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 70 kPa і тиск попереднього ущільнення 120 kPa. Нова будівля додає 110 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 3 mC_c = 0,25C_r = 0,04e₀ = 0,8σ′₀ = 70 kPaσ′_p = 120 kPaΔσ = 110 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 20 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 15 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 9 m. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 20 mmt_lab = 15 minH = 9 mприродний шар: двобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 1,4 m/s горизонтальною трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 1,4 m/sL = 1000 mD = 100 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 150 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 40 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 40 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (необроблений бетон) має ширину 4,5 m. Вода тече рівномірно з глибиною 0,8 m. n Маннінга = 0,014, ухил дна S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 4,5 my = 0,8 mn = 0,014S = 0,005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (необроблений бетон) з шириною по дну 1 m і закладанням укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 0,73 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,5 m. n Маннінга = 0,014. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 0,73 m³/sb = 1 my = 0,5 mz = 2n = 0,014

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 46 m. ККД насоса 80%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 90%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 60 L/sH = 46 mη_pump = 80%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 10 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 3 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 85%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 40 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,018ΣK = 3η = 85%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €1 000 під 3 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 10 років.

PV = €1 000r = 3%t = 10

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €75 000 через 10 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 2,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €75 0002,4% / 12N = 120

A = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €18 000, €34 000, €18 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 18 000CF₂ = 34 000CF₃ = 18 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €8 500, €10 000, €10 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 10 000CF₃ = 10 500

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Маси болти незалежні та нормальні із середнім 40 g і середнім квадратичним відхиленням 1,2 g. Знайдіть імовірність P того, що загальна маса 5 з них перевищує 197,3 g. Округліть z до двох знаків після коми.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 5> 197,3 g

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,03 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,02 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,01 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.

отвір: μ = 25,03 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = −1,25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·8 − 20·2 + 50 = 0

R_B = −10/8 = −1,25 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 20 − (−1,25) = 21,25 kN

Відповідь

R_B = −1,25 kN

Від’ємна реакція спрямована вниз.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 20,75 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, прикладена в x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 50·1,5 + 4·2·1

R_B = 83/4 = 20,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 20,75 = 37,25 kN

Відповідь

R_B = 20,75 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 56,67 kN (T), BC: 56,67 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 60 kN (C), GH: 60 kN (C), AF: 70,83 kN (C), HE: 37,5 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 4,167 kN (T), HC: 37,5 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент DH

Вузол D

CD і DE лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 121,7 kN (T), BC: 121,7 kN (T), CD: 65 kN (T), DE: 65 kN (T), FG: 130 kN (C), GH: 130 kN (C), AF: 102,1 kN (C), HE: 81,25 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 10,42 kN (T), HC: 81,25 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: DH

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: E (x = 8 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 46,67 kN, R₂ = 53,33 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 83,33, M_C = 146,7, M_D = 190, M_E = 213,3 kN·m, M_F = 106,7, M_G = 0

Відповідь

Позначка E: M_E = 213,3 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: C (x = 4 m)

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 30 kN, R₂ = 70 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 48, M_C = 72 kN·m, M_D = 52, M_E = 8, M_F = −60, M_G = 0

Відповідь

Позначка C: M_C = 72 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 2,538 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 9000 N, a = 1500 mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa³/(3EI) = 9000·1500³/(3·3,99 × 10¹²) = 2,538 mm

Відповідь

δ_P = 2,538 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 22,5 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·200000·11,11) = 2,25 × 10⁷ mm⁴

I_req = 22,5 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 22,5 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 6,867 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 2·1000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2000² = 6867 N = 6,867 kN

Відповідь

P_cr = 6,867 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: σ_cr = 197,4 MPa

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Радіус інерції і гнучкість

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/7,5 = 100

Критичне напруження

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197,4 MPa

Відповідь

σ_cr = 197,4 MPa

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (48000·120 − 1257·168)/(48000 − 1257) = 118,7 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·240³/12 + 48000·1,29² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·49,29² = 3,179 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 227,3 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: σ_верх = 62,51 MPa

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Поділіть на два прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

полиця: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 140 + 10/2 = 145 mm

стінка: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр ваги

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·145 + 1960·70)/4360 = 111,3 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

полиця: 240·10³/12 + 2400·(145 − 111,3)² = 2,748 × 10⁶ mm⁴

стінка: 14·140³/12 + 1960·(70 − 111,3)² = 6,542 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,748 × 10⁶ + 6,542 × 10⁶ = 9,29 × 10⁶ mm⁴

Напруження згину

Верхній край на відстані h − ȳ від осі.

y = 150 − 111,3 = 38,72 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·38,72/9,29 × 10⁶ = 62,51 MPa

Відповідь

σ_верх = 62,51 MPa

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 39,24 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Відповідь

u = 39,24 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 62,45 kPa

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 16·1 + 20·2 + 18,5·3 = 111,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 111,5 − 49,05 = 62,45 kPa

Відповідь

σ′ = 62,45 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 88,98 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 70 + 110 = 180 kPa > 120 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,04·3/(1 + 0,8)·log₁₀(120/70) + 0,25·3/(1 + 0,8)·log₁₀(180/120)

S = 15,61 + 73,37 = 88,98 mm

Відповідь

S = 88,98 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 2109 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 9/2 = 4,5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 15·(4,5/0,01)² = 3,038 × 10⁶ min

t_field = 3,038 × 10⁶/1440 = 2109 днів

Відповідь

t = 2109 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 147,2 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5·3 = 147,2 kN

Відповідь

F = 147,2 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 331,8 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5,5·6 = 331,8 kN

Відповідь

F = 331,8 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 294 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(1000/0,1)·1,4²/(2·9,81) = 29,97 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·29,97 = 294000 Pa = 294 kPa

Відповідь

Δp = 294 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 81,72 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·200/0,15 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

40 = (24 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·40/36,7) = 4,624 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,624·0,01767 = 0,08172 m³/s = 81,72 L/s

Відповідь

Q = 81,72 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 12,79 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 4,5·0,8 = 3,6 m²

P = b + 2y = 4,5 + 2·0,8 = 6,1 m

R = A/P = 0,5902 m

Швидкість

V = (1/0,014)·0,5902^2/3·0,005^1/2 = 3,554 m/s

Витрата

Q = A·V = 3,6·3,554 = 12,79 m³/s

Відповідь

Q = 12,79 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0004999 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (1 + 2·0,5)·0,5 = 1 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·0,5·√(1 + 2²) = 3,236 m

R = A/P = 0,309 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,014·0,73/(1·0,4571) = 0,02236

S = 0,02236² = 0,0004999

Відповідь

S = 0,0004999

Це зниження на 0,4999 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 37,6 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,06·46 = 27,08 kW

Потужність на валу

P_shaft = 27,08/0,8 = 33,84 kW

Електрична потужність

P_el = 33,84/0,9 = 37,6 kW

Відповідь

P_el = 37,6 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 7,148 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 3)·0,2611 = 5,484 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 10 + 5,484 = 15,48 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·15,48/0,85 = 7,148 kW

Відповідь

P_shaft = 7,148 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 1350 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,03·10 = 0,3

e^0,3 = 1,35

Майбутня вартість

FV = 1 000·1,35 = €1 349,86

Відповідь

FV = €1 349,86

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 553,6 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·10 = 120

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0,002/(1,271 − 1) = €553,62

Відповідь

A = €553,62

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −21804 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 18 000/1,15 = 15 652,17

CF₂/(1 + 0,15)² = 34 000/1,322 = 25 708,88

CF₃/(1 + 0,15)³ = 18 000/1,521 = 11 835,29

Додайте

NPV = €−21 803,65

Відповідь

NPV = €−21 803,65

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 20,32 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(20%) = 104,17

NPV(25%) = −1 424,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 20 + 5·104,17/(104,17 − (−1 424,00)) = 20,34%

точно: NPV(20,32%) = 0 → IRR = 20,32%

Відповідь

IRR = 20,32%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,8438

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ_T = 200 g, σ_T = 1,2·√5 = 2,683 g

Стандартизуйте

z = (197,3 − 200)/2,683 = −1,01

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,01) = 0,8438

Відповідь

P = 0,8438

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,9099

Розподіл різниці

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,02236 = −1,34

Імовірність

P = 1 − Φ(−1,34) = 0,9099

Відповідь

P = 0,9099

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil