Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP₁ = 15 kN у 2 mP₂ = 55 kN у 3 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (3 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 4 m від A, рівномірно розподіленим навантаженням w на всій ділянці CD. Знайдіть реакцію R_D рухомої опори.

AC = 3 mAD = 8 mP = 25 kN у 4 mw = 4 kN/m від 3 до 8 m

R_D = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 20 kN ↓F: 35 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

B: 40 kN ↓D: 25 kN ↓G: 10 kN ↓H: 30 kN ←

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 9 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 10 mw = 2 kN/m від 0 до 10 mx = 9 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

15 kN @ 12 m45 kN @ 2 m8 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 3 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (алюміній)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 30 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Вона має витримати 40 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 40 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 150 мм має круглий отвір діаметром 40 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 52,5 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmцентр отвору: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Зварний двотавровий переріз має верхню полицю 100 × 20 mm, стінку висотою 250 mm і товщиною 8 mm та нижню полицю 290 × 22 mm (ширина × товщина). Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

верхня полиця: 100 × 20 mmстінка: 8 × 250 mmнижня полиця: 290 × 22 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 4 mz_w = 2 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³

u = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 20,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 4,5 m має C_c = 0,35, C_r = 0,05 і e₀ = 1,15. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 50 kPa і тиск попереднього ущільнення 100 kPa. Нова будівля додає 170 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 4,5 mC_c = 0,35C_r = 0,05e₀ = 1,15σ′₀ = 50 kPaσ′_p = 100 kPaΔσ = 170 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 3,5 m має коефіцієнт консолідації c_v = 2,5 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 80% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,567. За скільки років t шар досягне 80% консолідації?

H = 3,5 mc_v = 2,5 m²/рікU = 80%T_v = 0,567однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 1,9 m/s трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 1,9 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Поверхня води у верхньому резервуарі на 17 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 17 mL = 200 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) має ширину по дну 5 m і закладання укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,4 m. n Маннінга = 0,03, ухил дна S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 5 my = 1,4 mz = 3n = 0,03S = 0,005

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 300 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 1,2 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 1,2 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 30 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 22 m, а його вал споживає 9 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 30 L/sH = 22 mP_shaft = 9 kWg = 9,81 m/s²

η = %

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 15 m вища. Труба довжиною 400 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 120 L/sΔz = 15 mL = 400 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 8

H = m

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €1 000 під номінальну ставку 4,8 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 2 років.

PV = €1 0004,8% / 4n = 2

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 16 років. Рахунок дає 3,6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €503,6% / 12N = 192

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €100 000. Він приносить €12 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 1 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 11 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €12 000g = 1%r = 11%

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €80 000. Його грошовий потік становить €10 500 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 7. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €10 500g = 5%n = 7r = 8%

NPV = €

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа під стандартною нормальною кривою праворуч від z дорівнювала 0,9345. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,9345

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Час кола бігуна A (X) і час кола бігуна B (Y) незалежні та нормальні: X має середнє 52 s і середнє квадратичне відхилення 4 s, Y має середнє 48 s і середнє квадратичне відхилення 3 s. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 24,38 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·2 + 55·3

R_B = 195/8 = 24,38 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 24,38 = 45,63 kN

Відповідь

R_B = 24,38 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_D = 15 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

W = 4·5 = 20 kN у 2,5 m від C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 25·1 + 20·2,5

R_D = 15 kN

V_C = 45 − 15 = 30 kN

Відповідь

R_D = 15 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 41,25 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 13,75 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 13,75 kN (C), AF: 58,34 kN (C), HE: 19,45 kN (C), BF: 6,25 kN (T), CG: 0, DH: 13,75 kN (T), BG: 19,45 kN (T), DG: 19,45 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 18,75 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 26,25 kN (T), FG: 48,75 kN (C), GH: 56,25 kN (C), AF: 68,94 kN (C), HE: 37,12 kN (C), BF: 48,75 kN (T), CG: 0, DH: 26,25 kN (T), BG: 12,37 kN (C), DG: 1,768 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = −8 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Розріжте в x = 9 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 10 − 2·9 = −8 kN

Відповідь

V_x = −8 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: B (x = 2 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 58,25 kN, R₂ = 65,75 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 100,5 kN·m, M_C = 79, M_D = 25,5, M_E = −60, M_F = −30, M_G = 0

Відповідь

Позначка B: M_B = 100,5 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 8,508 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 3000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 5,672 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,005672 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8,508 mm

Відповідь

δ_B = 8,508 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,875 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 1,875 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 50,23 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1250² = 50230 N = 50,23 kN

Відповідь

P_cr = 50,23 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 39,19 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 39,19 mm

Відповідь

d = 39,19 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 102,1, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 55,46 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (30000·75 − 1257·52,5)/(30000 − 1257) = 75,98 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·150³/12 + 30000·−0,9837² = 56,28 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−23,48² = 0,8187 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 55,46 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 55,46 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 130,8 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на три прямокутники

Кожне y відраховуйте від нижнього краю.

верхня полиця: A = 2000 mm², y = 282 mm

стінка: A = 2000 mm², y = 147 mm

нижня полиця: A = 6380 mm², y = 11 mm

Центр ваги

ȳ = (2000·282 + 2000·147 + 6380·11)/10380 = 89,42 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

верхня полиця: 100·20³/12 + 2000·192,6² = 7,424 × 10⁷ mm⁴

стінка: 8·250³/12 + 2000·57,58² = 1,705 × 10⁷ mm⁴

нижня полиця: 290·22³/12 + 6380·78,42² = 3,949 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,424 × 10⁷ + 1,705 × 10⁷ + 3,949 × 10⁷

I_x = 1,308 × 10⁸ mm⁴ = 130,8 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 130,8 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 19,62 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·2 = 19,62 kPa

Відповідь

u = 19,62 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 111,5 kPa

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3

σ = 16,5·1 + 20,5·2 + 18·3 = 111,5 kPa

Відповідь

σ = 111,5 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 282,3 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 50 + 170 = 220 kPa > 100 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,05·4,5/(1 + 1,15)·log₁₀(100/50) + 0,35·4,5/(1 + 1,15)·log₁₀(220/100)

S = 31,5 + 250,8 = 282,3 mm

Відповідь

S = 282,3 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 2,778 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 3,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,567·3,5²/2,5 = 2,778 роки

Відповідь

t = 2,778 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 183,9 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 2,5/2 = 3,75 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,75·5 = 183,9 kN

Відповідь

F = 183,9 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 1,722 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1,5 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·1,5·3 = 55,62 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1,5 + 1/(1,5·3) = 1,722 m

Відповідь

y_cp = 1,722 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 17,66 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,9²/(2·9,81) = 0,184 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,075)·1,9²/(2·9,81) = 17,66 m

Відповідь

h_f = 17,66 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 248,1 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·200/0,3 = 14,67

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 + 1,0 = 12,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

17 = (14,67 + 12,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·17/27,07) = 3,51 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 3,51·0,07069 = 0,2481 m³/s = 248,1 L/s

Відповідь

Q = 248,1 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 28,92 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1,4)·1,4 = 12,88 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1,4·√(1 + 3²) = 13,85 m

R = A/P = 0,9297 m

Швидкість

V = (1/0,03)·0,9297^2/3·0,005^1/2 = 2,245 m/s

Витрата

Q = A·V = 12,88·2,245 = 28,92 m³/s

Відповідь

Q = 28,92 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,007694 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·1,2/0,1778)² = 0,007694

Відповідь

S = 0,007694

Це зниження на 7,694 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 71,94 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,03·22 = 6,475 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 6,475/9 = 71,94%

Відповідь

η = 71,94%

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 28,16 m

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (35,2 + 8)·0,3046 = 13,16 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 15 + 13,16 = 28,16 m

Відповідь

H = 28,16 m

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 1100 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,048/4 = 0,012

N = m·n = 4·2 = 8

Майбутня вартість

FV = 1 000·(1 + 0,012)⁸ = 1 000·1,1 = €1 100,13

Відповідь

FV = €1 100,13

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 12956 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·16 = 192

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,777 − 1)/0,003 = €12 956,25

Відповідь

FV = €12 956,25

Самі ви внесли €9 600; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 20000 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 12 000/(0,11 − 0,01) = 120 000,00

NPV

NPV = 120 000,00 − 100 000 = €20 000,00

Відповідь

NPV = €20 000,00

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −17360 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,05)/(1,08))⁷ = 0,821

PV = 10 500/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,821) = 62 639,65

NPV

NPV = 62 639,65 − 80 000 = −€17 360,35

Відповідь

NPV = −€17 360,35

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = −1,51

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = 1 − 0,9345 = 0,0655

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,0655 усередині таблиці й зчитайте z.

z = −1,51

Відповідь

z = −1,51

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7881

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Відповідь

P = 0,7881

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil