Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w від стіни до 6 m і зосередженою силою P на відстані 10 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 10 mP = 45 kN у 10 mw = 8 kN/m від 0 до 6 m

M_A = kN·m

2.Опорні реакції балокСкладна

Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена лінійно змінним навантаженням, що дорівнює нулю біля стіни й зростає до 10 kN/m на вільному кінці B, а також зосередженою силою P на відстані 6 m від стіни. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

L = 8 mw₀ = 10 kN/mP = 70 kN у 6 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 25 kN ↓F: 10 kN ↓

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент BG
13елемент DG

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AC у стрижні AC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 3 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 40 kNгоризонтальне навантаження = 20 kN →

F_AC = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 5,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 6 mw = 4 kN/m від 0 до 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням на частині прольоту. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 10 mw = 12 kN/m від 4 до 6 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1 m від A. Знайдіть прогин δ_P під силою.

P = 26 kNa = 1 mL = 2 mE = 200 GPa (сталь)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.Прогин балкиСкладна

Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію R_B додаткової опори.

L = 5 mw = 12 kN/m

R_B = kN

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. Вона має витримати 150 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 150 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 280 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 80 mm. Основа й полиці мають товщину 14 mm. Знайдіть його момент інерції I_x відносно горизонтальної осі x, що проходить через центр ваги.

b = 280 mmh = 80 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 300 мм має прямокутний виріз завширшки 60 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 210 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 300 mmвиріз: 60 × 50 mmцентр отвору: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15,5 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³

σ′ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.

z = 8 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 19,5 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 2,5 m має C_c = 0,45, C_r = 0,05 і e₀ = 0,6. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 65 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 1,5. Нова будівля додає 60 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 2,5 mC_c = 0,45C_r = 0,05e₀ = 0,6σ′₀ = 65 kPaOCR = 1,5Δσ = 60 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

У лабораторному компресійному (одометричному) випробуванні зразок глини товщиною 20 mm, дренований вгорі й унизу, досягає 50% консолідації за 12 min. У природних умовах та сама глина утворює шар товщиною 9 m. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. За скільки днів t шар у природних умовах досягне 50% консолідації?

h_lab = 20 mmt_lab = 12 minH = 9 mприродний шар: двобічне дренування

t = днів

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 4 mH = 2,5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,5 m/s горизонтальною трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 300 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,5 m/sL = 100 mD = 300 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Поверхня води у верхньому резервуарі на 14 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 14 mL = 100 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (гравій) має ширину по дну 6 m і закладання укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,5 m. n Маннінга = 0,025, ухил дна S = 0,004. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 6 my = 1,5 mz = 1n = 0,025S = 0,004

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 375 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 0,9 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 375 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 52 m. ККД насоса 78%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 92%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 50 L/sH = 52 mη_pump = 78%η_motor = 92%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 100 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 6 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 3 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 70%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 100 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 3η = 70%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €10 000 під 6 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 2 років.

PV = €10 000r = 6%t = 2

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €150 0004,8% / 12N = 360

I = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €21 000, €17 000, €17 000, €12 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 21 000CF₂ = 17 000CF₃ = 17 000CF₄ = 12 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €9 000, €10 000, €10 500, €8 000 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 10 000CF₃ = 10 500CF₄ = 8 000

MIRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Перетягніть z так, щоб заштрихована площа між −z і z під стандартною нормальною кривою дорівнювала 0,8764. Знайдіть z до двох знаків після коми.

A = 0,8764

z =

30.Нормальний розподілСкладна

Зріст чоловіків (X) і жінок (Y) у групі незалежні та нормальні: X має середнє 180 cm і середнє квадратичне відхилення 10 cm, Y має середнє 170 cm і середнє квадратичне відхилення 12 cm. Знайдіть імовірність P того, що X більше за Y. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 594 kN·m

Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію R_A і реактивний момент M_A. ΣF_y = 0 дає R_A, а моменти відносно стіни дають M_A = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.

Рівнодійна розподіленого навантаження

W = 8·6 = 48 kN, x̄ = 3 m

Момент відносно стіни

M_A = P·a + W·x̄ = 45·10 + 48·3 = 594 kN·m

Відповідь

M_A = 594 kN·m

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 633,3 kN·m

Рівнодійна трикутного навантаження

W = ½·10·8 = 40 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Момент відносно стіни

M_A = W·x̄ + P·a = 40·5,333 + 70·6 = 633,3 kN·m

Відповідь

M_A = 633,3 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол C

BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 26,25 kN (T), BC: 17,5 kN (T), CD: 17,5 kN (T), DE: 8,75 kN (T), FG: 26,25 kN (C), GH: 8,75 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 12,37 kN (C), BF: 16,25 kN (T), CG: 0, DH: 8,75 kN (T), BG: 12,37 kN (T), DG: 12,37 kN (C)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AC = 14,67 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·4 + 20·3 → C_y = 44 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 44 = −4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −44/0,9487 = −46,38 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−46,38)·0,3162 = 14,67 kN

Відповідь

F_AC = 14,67 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 5,5 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Розріжте в x = 5,5 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 12·5,5 − 4·5,5·2,75 = 5,5 kN·m

Відповідь

M_x = 5,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 54 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, прикладена в x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 12·2·5

R_B = 120/10 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Нульова поперечна сила

Поперечна сила починається з R_A, залишається сталою на ненавантажених ділянках і зменшується з нахилом w у межах навантаження.

R_A − w·(x₀ − 4) = 0

x₀ = 4 + 12/12 = 5 m

Максимальний момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 4)²/2 = 12·5 − 12·1²/2 = 54 kN·m

Відповідь

M_max = 54 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_P = 5,098 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 26000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Прогин під силою

δ_P = Pa³/(3EI) = 26000·1000³/(3·1,7 × 10¹²) = 5,098 mm

Відповідь

δ_P = 5,098 mm

8.Прогин балки

Відповідь: R_B = 22,5 kN

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).

Відкиньте додаткову опору

Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Умова сумісності деформацій на додатковій опорі

Сама реакція додаткової опори R_B піднімає вільний кінець на R_BL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·12·5/8 = 22,5 kN

Відповідь

R_B = 22,5 kN

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 9,922 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1250² = 9922 N = 9,922 kN

Відповідь

P_cr = 9,922 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 85,35 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 85,35 mm

Відповідь

d = 85,35 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 93,73, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 2,744 × 10⁶ mm⁴

Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.

Розділіть на прямокутники

Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.

основа: A₁ = 280·14 = 3920 mm², y₁ = 7 mm

дві полиці: A₂ = 2·14·66 = 1848 mm², y₂ = 14 + 66/2 = 47 mm

Центр ваги

ȳ = (3920·7 + 1848·47)/5768 = 19,82 mm

Теорема про паралельне перенесення осей

основа: 280·14³/12 + 3920·(7 − 19,82)² = 707839 mm⁴

дві полиці: 2·14·66³/12 + 1848·(47 − 19,82)² = 2,036 × 10⁶ mm⁴

I_x = 707839 + 2,036 × 10⁶

I_x = 2,744 × 10⁶ mm⁴ = 2,744 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 2,744 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 325,3 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (45000·150 − 3000·210)/(45000 − 3000) = 145,7 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·300³/12 + 45000·4,286² = 338,3 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

60·50³/12 + 3000·64,29² = 13,02 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 325,3 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 325,3 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 50,26 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15,5·1 + 18,5·4 = 89,5 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·4 = 39,24 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 89,5 − 39,24 = 50,26 kPa

Відповідь

σ′ = 50,26 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ′ = 78,33 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·3

σ = 15·1 + 19,5·4 + 18·3 = 147 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·7 = 68,67 kPa

Ефективне напруження

σ′ = σ − u = 147 − 68,67 = 78,33 kPa

Відповідь

σ′ = 78,33 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 89,63 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1,5·65 = 97,5 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 65 + 60 = 125 kPa > 97,5 kPa

Осідання

Повторне стиснення до σ′_p, первинне стиснення понад нього.

S = 0,05·2,5/(1 + 0,6)·log₁₀(97,5/65) + 0,45·2,5/(1 + 0,6)·log₁₀(125/97,5)

S = 13,76 + 75,87 = 89,63 mm

Відповідь

S = 89,63 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 1688 днів

Шляхи фільтрації

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0,01 m

H_dr,field = 9/2 = 4,5 m

Перерахуйте час

t = T_v·H_dr²/c_v з однаковими T_v і c_v у лабораторії та в природі.

t_field = 12·(4,5/0,01)² = 2,43 × 10⁶ min

t_field = 2,43 × 10⁶/1440 = 1688 днів

Відповідь

t = 1688 днів

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 312,7 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·7,5 = 312,7 kN

Відповідь

F = 312,7 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 5,349 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2,5/2 = 5,25 m

A = H·b = 2,5·2 = 5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·5,25·5 = 226,6 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·2,5³/12 = 2,604 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 5,25 + 2,604/(5,25·5) = 5,349 m

Відповідь

y_cp = 5,349 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 18,75 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,3)·2,5²/(2·9,81) = 1,911 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·1,911 = 18750 Pa = 18,75 kPa

Відповідь

Δp = 18,75 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 226,5 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·100/0,25 = 8,8

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 2 + 1,0 = 4,1

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

14 = (8,8 + 4,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·14/12,9) = 4,614 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,614·0,04909 = 0,2265 m³/s = 226,5 L/s

Відповідь

Q = 226,5 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 30,3 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·1,5)·1,5 = 11,25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,5·√(1 + 1²) = 10,24 m

R = A/P = 1,098 m

Швидкість

V = (1/0,025)·1,098^2/3·0,004^1/2 = 2,693 m/s

Витрата

Q = A·V = 11,25·2,693 = 30,3 m³/s

Відповідь

Q = 30,3 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,003214 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,375/4 = 0,09375 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,2064)² = 0,003214

Відповідь

S = 0,003214

Це зниження на 3,214 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 35,54 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·52 = 25,51 kW

Потужність на валу

P_shaft = 25,51/0,78 = 32,7 kW

Електрична потужність

P_el = 32,7/0,92 = 35,54 kW

Відповідь

P_el = 35,54 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 17,12 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,1/0,04909 = 2,037 m/s

V²/(2g) = 0,2115 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,4 + 3)·0,2115 = 6,219 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 6 + 6,219 = 12,22 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,1·12,22/0,7 = 17,12 kW

Відповідь

P_shaft = 17,12 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 11275 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,06·2 = 0,12

e^0,12 = 1,127

Майбутня вартість

FV = 10 000·1,127 = €11 274,97

Відповідь

FV = €11 274,97

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 133319 €

Щомісячний платіж

i = 0,004, N = 360

A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻³⁶⁰) = €787,00

Усього відсотків

I = N·A − P = 360·787 − 150 000 = €133 319,29

Відповідь

I = €133 319,29

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 13720 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 21 000/1,06 = 19 811,32

CF₂/(1 + 0,06)² = 17 000/1,124 = 15 129,94

CF₃/(1 + 0,06)³ = 17 000/1,191 = 14 273,53

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 12 000/1,262 = 9 505,12

Додайте

NPV = €13 719,91

Відповідь

NPV = €13 719,91

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 19,72 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

9 000·1,06³ = 10 719,14

10 000·1,06² = 11 236,00

10 500·1,06¹ = 11 130,00

8 000·1,06⁰ = 8 000,00

TV = 41 085,14

MIRR

MIRR = (41 085,14/20 000)^1/4 − 1 = 19,72%

Відповідь

MIRR = 19,72%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: z = 1,54

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч від z

Φ(z) = (1 + 0,8764)/2 = 0,9382

Читайте таблицю z у зворотному напрямку

Знайдіть 0,9382 усередині таблиці й зчитайте z.

z = 1,54

Відповідь

z = 1,54

30.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,7389

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл різниці

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Імовірність

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Відповідь

P = 0,7389

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil