Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Консольна балка защемлена в стіні в A. Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині і зосередженою силою P на відстані 7 m від стіни. Знайдіть вертикальну реакцію RA у стіні.
Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Сила P прикладена на відстані 3,5 m від A під кутом 40° до горизонталі, а вертикальна сила Q — на відстані 2 m від A. Знайдіть величину повної реакції RA у шарнірі A.
Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля FBC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.
Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 4,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 0,5 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт. Знайдіть кут повороту θA перерізу балки на опорі A в радіанах.
Балка защемлена в A і шарнірно оперта в B (консоль із додатковою опорою). Вона навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всій довжині. EI стале. Знайдіть реакцію RB додаткової опори.
Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) шарнірно оперта з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.
Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.
Швелерний переріз лежить відкритою стороною вгору: основа шириною 300 mm з двома вертикальними полицями, повна висота 110 mm. Основа й полиці мають товщину 12 mm. Знайдіть висоту ȳ центра ваги над нижнім краєм.
Тавровий переріз працює як балка з полицею вгорі й сприймає додатний згинальний момент 25 kN·m. Знайдіть напруження згину σниз на нижньому краї.
Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть вертикальне ефективне напруження σ′ у точці X.
Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.
Шар переущільненої глини товщиною 5 m має Cc = 0,4, Cr = 0,06 і e₀ = 0,6. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 120 kPa і тиск попереднього ущільнення 180 kPa. Нова будівля додає 55 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.
Шар глини товщиною 4 m має коефіцієнт консолідації cv = 0,5 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 70% середньої консолідації фактор часу Tv = 0,403. За скільки років t шар досягне 70% консолідації?
Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.
Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.
Вода тече з витратою 15 L/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 100 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя hf.
Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Поверхня води у верхньому резервуарі на 17 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.
Трапецієподібний канал (цегляна кладка) має ширину по дну 4 m і закладання укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 0,5 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,002. Знайдіть витрату Q у m³/s.
Трапецієподібний канал (цегляна кладка) з шириною по дну 5,5 m і закладанням укосів 1,5:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 62 m³/s при рівномірній течії з глибиною 2 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).
Насос з ККД 70% подає 150 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 12 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу Pshaft у kW.
Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 27 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 350 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.
Кредитна картка нараховує номінальну ставку 20 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.
Кредит €12 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 3 років. Ставка — 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
Верстат коштує сьогодні €60 000. Він приносить €12 000 наприкінці кожного року протягом 5 років, а потім його можна продати за €9 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
Інвестиція €50 000 приносить €8 500 наприкінці кожного року протягом 9 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
Нехай бали за іспит розподілені нормально із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Яка частка значень лежить між 62 і 75 балів? Подайте P у вигляді десяткового дробу.
Діаметри отворів D нормальні із середнім 25,02 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Діаметри валів d незалежні та нормальні із середнім 25 мм і середнім квадратичним відхиленням 0,015 мм. Навмання вибраний вал підходить, якщо D − d > 0. Знайдіть імовірність P того, що він підійде. Округліть z до двох знаків після коми.
Відповідь: RA = 120 kN
Рівновага консолі: защемлення може не лише підпирати, а й протидіяти повороту, тож воно дає вертикальну реакцію RA і реактивний момент MA. ΣFy = 0 дає RA, а моменти відносно стіни дають MA = Σ(навантаження × відстань від стіни). Розподілене навантаження діє як рівнодійна, прикладена в центрі ваги епюри навантаження.
Відповідь: RA = 28,83 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Відповідь: FBC = −41,93 kN
Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣFx = 0 і ΣFy = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.
Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.
Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.
Відповідь: елемент CG
Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.
BC і CD лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.
Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).
Відповідь: Mx = 37,13 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Рівновага всієї балки.
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
Відповідь: Mx = 10,38 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Рівновага всієї балки.
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
Відповідь: θA = 0,01023 rad
Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Кут повороту θ = dv/dx — це перший інтеграл M/(EI); в узгоджених одиницях він виходить у радіанах.
Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.
Це 0,586°.
Відповідь: RB = 18 kN
Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання). Для статично невизначуваної балки відкиньте зайву опору й вимагайте, щоб прогин у цьому місці дорівнював нулю (умова сумісності деформацій).
Без додаткової опори балка є консоллю. Її вільний кінець прогнувся б під навантаженням.
Сама реакція додаткової опори RB піднімає вільний кінець на RBL³/(3EI). Опора утримує B з нульовим прогином, тож ці два прогини мають взаємно знищитися. EI скорочується.
Відповідь: Pcr = 46,06 kN
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.
Відповідь: σcr = 4,318 MPa
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.
Відповідь: ȳ = 27,73 mm
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Візьміть основу на всю ширину і дві полиці над нею (висотою h − t), щоб нічого не врахувати двічі.
Відповідь: σниз = 81,22 MPa
Складені перерізи: поділіть переріз на прямокутники. Центр ваги — середнє, зважене за площами: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент інерції відносно центральної осі сумує власний bh³/12 кожної частини та член паралельного перенесення A·d², де d — відстань від центра ваги частини до загального центра ваги. Напруження згину σ = M·y/I.
Кожне y відраховуйте від нижнього краю.
Нижній край на відстані ȳ від осі.
Відповідь: σ′ = 42,57 kPa
Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γw·(глибина під рівнем ґрунтових вод).
Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.
Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.
Відповідь: u = 39,24 kPa
Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γw·(глибина під рівнем ґрунтових вод).
Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.
Відповідь: S = 30,72 mm
Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′f = σ′0 + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Переущільнена глина повторно стискається за Cr до тиску попереднього ущільнення σ′p і лише понад нього йде за Cc. Час: t = Tv·Hdr²/cv, де шлях фільтрації Hdr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.
Глина залишається на лінії повторного стиснення.
Відповідь: t = 12,9 роки
Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′f = σ′0 + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0). Переущільнена глина повторно стискається за Cr до тиску попереднього ущільнення σ′p і лише понад нього йде за Cc. Час: t = Tv·Hdr²/cv, де шлях фільтрації Hdr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.
Відповідь: F = 99,33 kN
Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.
Відповідь: F = 86,33 kN
Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.
Відповідь: hf = 1,859 m
Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.
Відповідь: Q = 190,7 L/s
Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.
Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.
Відповідь: Q = 3,903 m³/s
Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R2/3·S1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.
Відповідь: S = 0,002031 m/m
Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R2/3·S1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.
Це зниження на 2,031 m на кілометр.
Відповідь: Pshaft = 25,23 kW
Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: Pshaft = Ph/ηpump, а двигун споживає Pel = Pshaft/ηmotor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.
Відповідь: H = 77,72 m
Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: Pshaft = Ph/ηpump, а двигун споживає Pel = Pshaft/ηmotor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.
Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.
Відповідь: EAR = 22,13 %
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.
Відповідь: A = 345,8 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
Відповідь: NPV = −8922 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Відповідь: IRR = 9,47 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.
Відповідь: P = 0,4593
Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.
Відповідь: P = 0,8264
Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σX² + σY², тож σ = √(σX² + σY²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).
Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil