Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 6 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію R_A, вважаючи напрямок угору додатним.

AB = 6 mAC = 10 mP₁ = 30 kN у 5 mP₂ = 20 kN у 10 m

R_A = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (4 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 6 m від A і зосередженою силою Q на відстані 3 m від A. Знайдіть величину реактивного моменту M_A у стіні.

AC = 4 mAD = 8 mP = 70 kN у 6 mQ = 35 kN у 3 m

M_A = kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_BC у стрижні BC. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 6 mвисота = 2 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 50 kN

F_BC = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Рівно один елемент цієї ферми не несе сили за цих навантажень. Який це нульовий елемент? Клацніть його на діаграмі.

B: 20 kN ↓C: 15 kN ↓D: 20 kN ↓F: 10 kN →

1елемент AB
2елемент BC
3елемент CD
4елемент DE
5елемент FG
6елемент GH
7елемент AF
8елемент HE
9елемент BF
10елемент CG
11елемент DH
12елемент FC
13елемент HC

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Позначки від A до G ділять балку на шість рівних частин. У якій позначці згинальний момент найбільший за величиною, додатний чи від’ємний? Клацніть її на діаграмі.

55 kN @ 3 m10 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w на весь проліт і зосередженою силою P. Знайдіть максимальний згинальний момент M_max у балці.

L = 8 mP = 30 kN у 2 mw = 2 kN/m від 0 до 8 m

M_max = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w по всьому прольоту. Знайдіть найбільший прогин δ_max посередині прольоту.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (сталь)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w і зосередженою силою P посередині прольоту. За принципом накладання знайдіть прогин посередині δ_max.

P = 26 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (алюміній)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (сталь)d = 20 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й шарнірно оперта вгорі. Вона має витримати 105 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 3. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 105 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (алюміній)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Пластина 200 мм × 200 мм має круглий отвір діаметром 50 мм на вертикальній осі симетрії, центр якого на 120 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 200 mmh = 200 mmd = 50 mmцентр отвору: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 80 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 105 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 150 mmвиріз: 80 × 50 mmцентр отвору: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть поровий тиск u у точці X.

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 20 kN/m³глина: γ_sat = 18 kN/m³

u = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 4,5 m має C_c = 0,35, C_r = 0,04 і e₀ = 0,75. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 105 kPa і коефіцієнт переущільнення OCR = 2,5. Нова будівля додає 70 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 4,5 mC_c = 0,35C_r = 0,04e₀ = 0,75σ′₀ = 105 kPaOCR = 2,5Δσ = 70 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 8 m має коефіцієнт консолідації c_v = 3 m²/year. Він лежить на водонепроникній скелі, а над ним пісок, тож вода дренується лише вгорі. Для 70% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,403. За скільки років t шар досягне 70% консолідації?

H = 8 mc_v = 3 m²/рікU = 70%T_v = 0,403однобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 60 L/s трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 60 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Поверхня води у верхньому резервуарі на 5 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 5 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Бетонний зливовий колектор з внутрішнім діаметром 750 mm заповнений наполовину. n Маннінга = 0,013, ухил S = 0,001. Знайдіть витрату Q у m³/s.

D = 750 mmn = 0,013S = 0,001

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (цегляна кладка) з шириною по дну 6 m і закладанням укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 34 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,2 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 34 m³/sb = 6 my = 1,2 mz = 2n = 0,015

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 24 m. ККД насоса 80%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 88%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 40 L/sH = 24 mη_pump = 80%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 6 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 2,5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 70%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 75 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 2,5η = 70%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €20 000 під номінальну ставку 6 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 8 років.

PV = €20 0006% / 12n = 8

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 17 років. Рахунок дає 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €502,4% / 12N = 204

FV = €

27.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €12 000, €15 000, €22 000, €14 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 15 000CF₃ = 22 000CF₄ = 14 000

NPV = €

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €11 500, €14 500, €11 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 14 500CF₃ = 11 500

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

Нехай тривалості доставки розподілені нормально із середнім 32 min і стандартним відхиленням 6 min. Яка частка значень лежить між 29 і 41,3 min? Подайте P у вигляді десяткового дробу.

μ = 32σ = 6x₁ = 29x₂ = 41,3

P =

30.Нормальний розподілСкладна

Нехай строки служби батарейок розподілені нормально із середнім 500 h і стандартним відхиленням 40 h. Знайдіть значення x, нижче за яке лежать 90 % значень (90-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = −8,333 kN

Моменти відносно A

Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·5 + 20·10

R_B = 350/6 = 58,33 kN

Рівновага по вертикалі

R_A = 30 + 20 − 58,33 = −8,333 kN

Відповідь

R_A = −8,333 kN

R_A від’ємна: шарнір A має утримувати балку від підйому.

2.Опорні реакції балок

Відповідь: M_A = 245 kN·m

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.

Ділянка CD

У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.

ΣM_C = 0: R_D·4 = 70·2

R_D = 35 kN

V_C = 70 − 35 = 35 kN

Ділянка AC

Сила в шарнірі V_C діє на AC униз (рівна за величиною й протилежна її дії на CD).

R_A = 35 + 35 = 70 kN

M_A = 35·3 + 35·4 = 245 kN·m

Відповідь

M_A = 245 kN·m

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_BC = −47,14 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·4 → C_y = 33,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 33,33 = 16,67 kN

Вузол C

Рухома опора дає лише вертикальну реакцію, тож у вузлі C лише дві невідомі сили в стрижнях. Припустіть, що обидва розтягнуті.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,33/0,7071 = −47,14 kN

Відповідь

F_BC = −47,14 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: елемент CG

Нульові елементи: у вузлі сили мають врівноважуватися в кожному напрямку. Якщо вузол не має навантаження й опори, а два з трьох його елементів лежать на одній прямій, то баланс поперек цієї прямої включає лише третій елемент, тож його сила нульова. Якщо в ненавантаженому вузлі сходяться лише два елементи й не на одній прямій, обидва нульові.

Вузол G

FG і GH лежать на одній прямій, а вузол не несе навантаження. Баланс сил поперек цієї прямої залишає лише CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Перевірка методом вузлів

Розв’язання всіх вузлів дає ці сили в елементах (T = розтяг, C = стиск).

AB: 35 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 30 kN (T), DE: 30 kN (T), FG: 40 kN (C), GH: 40 kN (C), AF: 35,36 kN (C), HE: 42,43 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 7,071 kN (T), HC: 14,14 kN (T)

Відповідь

Нульовий елемент: CG

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: D (x = 3 m)

Найбільший згинальний момент: нахил M змінюється там, де змінюється поперечна сила, тож його піки лежать там, де поперечна сила проходить через нуль: під зосередженою силою, всередині розподіленого навантаження або над опорою консолі. У жорсткому закладенні консолі момент найбільший біля стіни. Порівняйте величину M у цих місцях, прогинальний чи від’ємний.

Опорні реакції

Візьміть моменти відносно однієї опори, потім використайте баланс вертикальних сил.

R₁ = 35,83 kN, R₂ = 29,17 kN

Згинальний момент у кожній позначці

Додайте моменти всіх сил з одного боку розрізу. Прогин униз додатний, вигин угору від’ємний.

M_A = 0, M_B = 35,83, M_C = 61,67, M_D = 87,5 kN·m, M_E = 58,33, M_F = 29,17, M_G = 0

Відповідь

Позначка D: M_D = 87,5 kN·m

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_max = 57 kN·m

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу. Максимальний момент: оскільки dM/dx = V, згинальний момент досягає максимуму там, де поперечна сила переходить через нуль: або під зосередженою силою, або в межах розподіленого навантаження.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·2 + 2·8·4

R_B = 124/8 = 15,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 15,5 = 30,5 kN

Де V = 0?

V(2⁻) = R_A − w·2 = 26,5 kN

V(2⁺) = 26,5 − 30 = −3,5 kN

Поперечна сила змінює знак під силою, тож максимум під силою.

Максимальний момент

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 30,5·2 − 2·2²/2 = 57 kN·m

Відповідь

M_max = 57 kN·m

Це в точці x = 2 m від A.

7.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 35,16 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Прогин

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·6000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 35,16 mm

Відповідь

δ_max = 35,16 mm

8.Прогин балки

Відповідь: δ_max = 9,678 mm

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 26000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Кожне навантаження окремо

δ_P = PL³/(48EI) = 26000·5000³/(48·1,12 × 10¹³) = 6,045 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 3,633 mm

Додайте

δ_max = 6,045 + 3,633 = 9,678 mm

Відповідь

δ_max = 9,678 mm

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 62,01 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·1000 = 500 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/500² = 62013 N = 62,01 kN

Відповідь

P_cr = 62,01 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 73,03 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 3·105000 = 315000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 73,03 mm

Відповідь

d = 73,03 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 95,85, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (40000·100 − 1963·120)/(40000 − 1963) = 98,97 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

200·200³/12 + 40000·1,032² = 133,4 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·21,03² = 1,175 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 132,2 × 10⁶ mm⁴

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 36,98 × 10⁶ mm⁴

Центр ваги

ȳ = (22500·75 − 4000·105)/(22500 − 4000) = 68,51 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·150³/12 + 22500·6,486² = 43,13 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

80·50³/12 + 4000·36,49² = 6,158 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 36,98 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 36,98 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 9,81 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·1 = 9,81 kPa

Відповідь

u = 9,81 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: u = 49,05 kPa

Поровий тиск

Тиск води зростає з глибиною під рівнем ґрунтових вод.

u = γ_w·(z − z_w) = 9,81·5 = 49,05 kPa

Відповідь

u = 49,05 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 22,82 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Тиск попереднього ущільнення

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2,5·105 = 262,5 kPa

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 105 + 70 = 175 kPa ≤ 262,5 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,04·4,5/(1 + 0,75)·log₁₀(175/105) = 22,82 mm

Відповідь

S = 22,82 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 8,597 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H = 8 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·8²/3 = 8,597 роки

Відповідь

t = 8,597 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 110,4 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2,5 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·4,5 = 110,4 kN

Відповідь

F = 110,4 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,25 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·9 = 264,9 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 6,75/(3·9) = 3,25 m

Відповідь

y_cp = 3,25 m

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 10,41 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,91²/(2·9,81) = 0,1859 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(400/0,2)·1,91²/(2·9,81) = 10,41 m

Відповідь

h_f = 10,41 m

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 90,75 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·300/0,25 = 24

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

5 = (24 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·5/28,7) = 1,849 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 1,849·0,04909 = 0,09075 m³/s = 90,75 L/s

Відповідь

Q = 90,75 L/s

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 0,176 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = 0,2209 m², R = D/4 = 0,1875 m

Швидкість

V = (1/0,013)·0,1875^2/3·0,001^1/2 = 0,7969 m/s

Витрата

Q = A·V = 0,2209·0,7969 = 0,176 m³/s

Відповідь

Q = 0,176 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,003005 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 2·1,2)·1,2 = 10,08 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1,2·√(1 + 2²) = 11,37 m

R = A/P = 0,8868 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·34/(10,08·0,923) = 0,05481

S = 0,05481² = 0,003005

Відповідь

S = 0,003005

Це зниження на 3,005 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 13,38 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·24 = 9,418 kW

Потужність на валу

P_shaft = 9,418/0,8 = 11,77 kW

Електрична потужність

P_el = 11,77/0,88 = 13,38 kW

Відповідь

P_el = 13,38 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 12,57 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 2,5)·0,2905 = 5,955 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 6 + 5,955 = 11,95 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,075·11,95/0,7 = 12,57 kW

Відповідь

P_shaft = 12,57 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 32283 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·8 = 96

Майбутня вартість

FV = 20 000·(1 + 0,005)⁹⁶ = 20 000·1,614 = €32 282,85

Відповідь

FV = €32 282,85

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 12580 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·17 = 204

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1,503 − 1)/0,002 = €12 579,86

Відповідь

FV = €12 579,86

Самі ви внесли €10 200; решта — відсотки.

27.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 4397 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 12 000/1,1 = 10 909,09

CF₂/(1 + 0,1)² = 15 000/1,21 = 12 396,69

CF₃/(1 + 0,1)³ = 22 000/1,331 = 16 528,93

CF₄/(1 + 0,1)⁴ = 14 000/1,464 = 9 562,19

Додайте

NPV = €4 396,90

Відповідь

NPV = €4 396,90

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 23,3 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(20%) = 1 307,87

NPV(25%) = −632,00

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 20 + 5·1 307,87/(1 307,87 − (−632,00)) = 23,37%

точно: NPV(23,3%) = 0 → IRR = 23,3%

Відповідь

IRR = 23,3%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,6309

Нормальний розподіл: переведіть значення x у z-оцінку z = (x − μ)/σ, яка показує, на скільки стандартних відхилень значення віддалене від середнього. Таблиця z (або Φ(z)) дає площу ліворуч від z, тобто P(X < x). Площа праворуч дорівнює 1 − Φ(z), а площа між двома значеннями — різниці їхніх площ ліворуч.

z-оцінки

z₁ = (29 − 32)/6 = −0,5

z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55

Площа між

P = Φ(1,55) − Φ(−0,5) = 0,9394 − 0,3085 = 0,6309

Відповідь

P = 0,6309

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 551,3 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Назад до x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Відповідь

x = 551,26 h

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil