Підготовка до іспиту FE Civil: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 30 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Опорні реакції балок

Рівновага: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Рівномірне навантаження: рівнодійна w·L посередині навантаження
Момент: M = F·d

Метод

Накресліть розрахункову схему й замініть кожну опору її реакціями.
Замініть кожне розподілене навантаження однією силою в його центрі ваги.
Візьміть моменти відносно однієї опори, щоб знайти реакцію другої.
Використайте ΣF_y = 0, щоб знайти решту реакції, і перевірте другим рівнянням моментів.

Ферма: метод вирізання вузлів

Метод вирізання вузлів: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод перерізів: ΣM = 0 about a cut point
Зусилля в стрижні: додатне = розтяг, від’ємне = стиск

Метод

Знайдіть реакції опор для всієї ферми.
Метод вирізання вузлів: почніть з вузла, де не більше двох невідомих зусиль у стрижнях, і використайте ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0.
Метод перерізів: розріжте потрібний стрижень і візьміть моменти відносно точки, де перетинаються інші невідомі стрижні.
Припускайте розтяг; від’ємна відповідь означає стиск.

Поперечна сила і згинальний момент

Поперечна сила і момент: V = ΣF з одного боку, M = ΣF·d з одного боку
Напруження згину: σ = M·y/I
Прямокутник: I = bh³/12
Момент опору перерізу: W = I/y_max
Шарнірно оперта, рівномірне навантаження: M_max = wL²/8

Метод

Знайдіть реакції опор з рівноваги всієї балки.
Розріжте балку в потрібному перерізі й залиште одну частину.
Поперечна сила: сума вертикальних сил з цього боку. Згинальний момент: сума їхніх моментів відносно перерізу.
Для максимального моменту знайдіть, де поперечна сила дорівнює нулю.

Прогин балки

Зосереджена сила посередині прольоту: δ = PL³/(48EI)
Рівномірне навантаження, шарнірно оперта балка: δ = 5wL⁴/(384EI)
Консоль, сила на кінці: δ = PL³/(3EI)
Консоль, рівномірне навантаження: δ = wL⁴/(8EI)
Метод накладання: δ = δ₁ + δ₂

Стійкість колон

Критична сила Ейлера: P_cr = π²EI/(KL)²
Коефіцієнт розрахункової довжини: K = 1 шарнір–шарнір, 0,5 защемлення–защемлення, 0,7 защемлення–шарнір, 2 защемлення–вільний кінець
Критичне напруження: σ_cr = P_cr/A
Гнучкість: λ = KL/r, r = √(I/A)

Центр ваги й момент інерції

Центр ваги: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямокутник: I = bh³/12
Теорема про паралельне перенесення осей: I = I_c + A·d²
Складений переріз: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Ефективне напруження в ґрунті

Повне напруження: σ = Σγ_i·h_i
Поровий тиск: u = γ_w·(z − z_w)
Ефективне напруження: σ′ = σ − u
Вода: γ_w = 9,81 kN/m³

Консолідаційне осідання

Нормально ущільнений: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Кінцеве напруження: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
Переущільнений, σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
Переущільнений, σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
Коефіцієнт переущільнення: OCR = σ′_p/σ′₀
Час консолідації: t = T_v·H_dr²/c_v
Шлях фільтрації: H_dr = H/2 (двобічне дренування), H (однобічне дренування)
Фактори часу: U 50% → 0,197, 60% → 0,287, 70% → 0,403, 80% → 0,567, 90% → 0,848

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

Нормальний розподіл

z-оцінка: z = (x − μ)/σ
Менше за x: P(X < x) = Φ(z)
Більше за x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Між: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведіть значення в z-оцінку: z = (x − μ)/σ.
Знайдіть Φ(z) — площу ліворуч від z.
Для площі праворуч використайте 1 − Φ(z); для інтервалу відніміть дві ліві площі.
Для процентиля дійте у зворотному порядку: знайдіть z для площі, потім x = μ + z·σ.

2Задачі для практики

1.Опорні реакції балокСередня

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_B.

L = 8 mP₁ = 30 kN у 2 mP₂ = 20 kN у 7 m

R_B = kN

2.Опорні реакції балокСкладна

Шарнірно оперта балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому в B. Знайдіть вертикальну опорну реакцію R_A.

L = 4 mP = 35 kN у 1,5 mw = 8 kN/m від 2 до 4 m

R_A = kN

3.Ферма: метод вирізання вузлівСередня

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 4 mB на відстані 2 m від Aвертикальне навантаження = 10 kN

F_AB = kN

4.Ферма: метод вирізання вузлівСкладна

Методом вирізання вузлів знайдіть зусилля F_AB у стрижні AB. Розтяг давайте додатним, стиск — від’ємним.

проліт = 5 mвисота = 2 mB на відстані 4 m від Aвертикальне навантаження = 10 kNгоризонтальне навантаження = 15 kN →

F_AB = kN

5.Поперечна сила і згинальний моментСередня

Знайдіть поперечну силу V_x у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mw = 2 kN/m від 0 до 8 mx = 1 m

V_x = kN

6.Поперечна сила і згинальний моментСкладна

Знайдіть згинальний момент M_x у перерізі x = 4 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.

L = 8 mP = 20 kN у 4 mw = 10 kN/m від 0 до 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Прогин балкиСередня

Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 0,5 m від A. Знайдіть прогин δ_B вільного кінця B.

P = 19 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 70 GPa (алюміній)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.Прогин балкиСкладна

Шарнірно оперта балка навантажена рівномірно розподіленим навантаженням w. Її прогин не може перевищувати проліт/360. Знайдіть найменший момент інерції I_req, що задовольняє цю умову.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (алюміній)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колонСередня

Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена з обох кінців. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (алюміній)d = 50 mm

P_cr = kN

10.Стійкість колонСкладна

Суцільна кругла колона довжиною L з матеріалу (сталь) защемлена внизу й вільна вгорі. Вона має витримати 50 kN з коефіцієнтом запасу стійкості 2,5. Знайдіть найменший діаметр d.

P = 50 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 200 GPa (сталь)

d = mm

11.Центр ваги й момент інерціїСередня

Симетричний двотавровий переріз має полиці шириною 250 mm і товщиною 12 mm, повну висоту 500 mm і стінку товщиною 10 mm. Знайдіть його пружний момент опору S_x при згині відносно горизонтальної центральної осі x.

B = 250 mmH = 500 mmt_f = 12 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

12.Центр ваги й момент інерціїСкладна

Пластина 150 мм × 150 мм має прямокутний виріз завширшки 30 мм і заввишки 50 мм, розташований на вертикальній осі симетрії, із центром на 60 мм вище від низу. Знайдіть момент інерції площі I_x відносно горизонтальної осі, що проходить через центр ваги.

b = 150 mmh = 150 mmвиріз: 30 × 50 mmцентр отвору: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунтіСередня

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 16,5 kN/m³пісок: γ_sat = 19 kN/m³

σ = kPa

14.Ефективне напруження в ґрунтіСкладна

Для показаного ґрунтового розрізу знайдіть повне вертикальне напруження σ у точці X.

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9,81 kN/m³пісок: γ_d = 15 kN/m³пісок: γ_sat = 18,5 kN/m³глина: γ_sat = 17,5 kN/m³

σ = kPa

15.Консолідаційне осіданняСередня

Шар переущільненої глини товщиною 7 m має C_c = 0,5, C_r = 0,02 і e₀ = 0,65. Посередині товщі ефективне вертикальне напруження становить 110 kPa і тиск попереднього ущільнення 200 kPa. Нова будівля додає 55 kPa вертикального напруження посередині товщі. Знайдіть осідання від первинної консолідації S у mm.

H = 7 mC_c = 0,5C_r = 0,02e₀ = 0,65σ′₀ = 110 kPaσ′_p = 200 kPaΔσ = 55 kPa

S = mm

16.Консолідаційне осіданняСкладна

Шар глини товщиною 3 m має коефіцієнт консолідації c_v = 1,5 m²/year. Він лежить між двома шарами піску, тож вода дренується вгорі й унизу. Для 70% середньої консолідації фактор часу T_v = 0,403. За скільки років t шар досягне 70% консолідації?

H = 3 mc_v = 1,5 m²/рікU = 70%T_v = 0,403двобічне дренування

t = роки

17.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

18.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

19.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 0,8 m/s горизонтальною трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 0,8 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 150 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 10). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 25 L/s?

Q = 25 L/sL = 150 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (цегляна кладка) має ширину 5 m. Вода тече рівномірно з глибиною 1,7 m. n Маннінга = 0,015, ухил дна S = 0,0008. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 5 my = 1,7 mn = 0,015S = 0,0008

Q = m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 250 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 0,9 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 250 mmn = 0,013V = 0,9 m/s

S = m/m

23.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 85% подає 25 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 42 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 25 L/sH = 42 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

24.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 4 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 82%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 40 L/sΔz = 5 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 4η = 82%

P_shaft = kW

25.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €1 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 4 років.

PV = €1 0002% / 12n = 4

FV = €

26.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 15 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €150 0004,8% / 12N = 180

I = €

27.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €50 000 і приносить €12 000, €18 500, €14 000, €16 000, €15 500 наприкінці років з 1 по 5. Вартість капіталу — 12 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 12 000CF₂ = 18 500CF₃ = 14 000CF₄ = 16 000CF₅ = 15 500

DPB = роки

28.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €31 000, €31 000, €29 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −50 000CF₁ = 31 000CF₂ = 31 000CF₃ = 29 500

IRR = %

29.Нормальний розподілСередня

X нормальна із середнім 60 s і середнім квадратичним відхиленням 5 s; Y незалежна й нормальна із середнім 45 s і середнім квадратичним відхиленням 4 s. Знайдіть імовірність P того, що X + Y перевищує 111,4 s. Округліть z до двох знаків після коми.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 111,4 s

P =

30.Нормальний розподілСкладна

бали за іспит нормально розподілені із середнім 65 балів і стандартним відхиленням 10 балів. Перетягніть межу так, щоб заштриховані верхні 10% були праворуч від неї. Знайдіть межу x.

μ = 65 балівσ = 10 балів10%

x = балів

3Розчини

1.Опорні реакції балок

Відповідь: R_B = 25 kN

Статична рівновага: для тіла в спокої ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Моменти відносно однієї опори виключають її реакцію з рівняння.

Розрахункова схема

Замініть опори силами реакції. Рухома опора дає одну вертикальну реакцію; якщо навантаження лише вертикальні, нерухома шарнірна опора теж дає одну вертикальну реакцію.

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·2 + 20·7

R_B = 200/8 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

Відповідь

R_B = 25 kN

2.Опорні реакції балок

Відповідь: R_A = 25,88 kN

Розрахункова схема

Рівновага

Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки. Потім рівновага вертикальних сил.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, прикладена в x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1,5 + 8·2·3

R_B = 100,5/4 = 25,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 51 − 25,13 = 25,88 kN

Відповідь

R_A = 25,88 kN

3.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = −6,708 kN

Метод вирізання вузлів: кожен вузол ферми перебуває в рівновазі, тож у кожному вузлі ΣF_x = 0 і ΣF_y = 0. Почніть із вузла, де не більше двох невідомих зусиль. Від’ємний результат означає, що стрижень стиснутий.

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·2 → C_y = 4 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 4 = 6 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −6/0,8944 = −6,708 kN

Відповідь

F_AB = −6,708 kN (стиск)

4.Ферма: метод вирізання вузлів

Відповідь: F_AB = 8,944 kN

Опорні реакції

Рівновага всієї ферми. Моменти відносно A, додатні проти годинникової стрілки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·4 + 15·2 → C_y = 14 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 14 = −4 kN

ΣF_x = 0: A_x = −15 kN

Вузол A

Припустіть, що кожен стрижень розтягнутий (тягне від вузла). Лише AB має вертикальну складову у вузлі A.

sin α = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −−4/0,4472 = 8,944 kN

Відповідь

F_AB = 8,944 kN (розтяг)

5.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: V_x = 6 kN

Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 2·8·4

R_B = 64/8 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

Розріжте в x = 1 m і залиште ліву частину

Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.

V = R_A − (усі навантаження донизу ліворуч від перерізу)

V_x = 8 − 2·1 = 6 kN

Відповідь

V_x = 6 kN

6.Поперечна сила і згинальний момент

Відповідь: M_x = 120 kN·m

Опорні реакції

Рівновага всієї балки.

Рівнодійна розподіленого навантаження: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, прикладена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·4 + 10·8·4

R_B = 400/8 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

Розріжте в x = 4 m і залиште ліву частину

M = R_A·x − (кожне навантаження ліворуч від перерізу × його відстань до перерізу)

M_x = 50·4 − 10·4·2 = 120 kN·m

Відповідь

M_x = 120 kN·m

7.Прогин балки

Відповідь: δ_B = 2,704 mm

Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).

Узгоджені одиниці

Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.

P = 19000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Прогин вільного кінця

Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,4917 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001475 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,704 mm

Відповідь

δ_B = 2,704 mm

8.Прогин балки

Відповідь: I_req = 3,39 × 10⁶ mm⁴

Обмеження прогину

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Потрібний момент інерції

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·1500⁴/(384·70000·4,167) = 3,39 × 10⁶ mm⁴

I_req = 3,39 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_req = 3,39 × 10⁶ mm⁴

9.Стійкість колон

Відповідь: P_cr = 52,99 kN

Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при P_cr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.

Найменший момент інерції

Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Розрахункова довжина

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Критична сила

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2000² = 52989 N = 52,99 kN

Відповідь

P_cr = 52,99 kN

10.Стійкість колон

Відповідь: d = 75,36 mm

Потрібна критична сила

P_cr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Виразіть діаметр

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 75,36 mm

Відповідь

d = 75,36 mm

Перевірка: гнучкість KL/r дорівнює 265,4, тож колона гнучка й формула Ейлера застосовна.

11.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: S_x = 1789 × 10³ mm³

Момент інерції перерізу: для прямокутника відносно власної центральної осі I = bh³/12, а відносно основи bh³/3 (теорема про паралельні осі I = I_c + A·d²). Отвір враховують, віднімаючи його I, якщо обидві частини мають ту саму вісь. Пружний момент опору перерізу S = I/c, де c — відстань до найвіддаленішого волокна.

Зовнішній прямокутник мінус два бічні вирізи

Обидва вирізи разом мають ширину (B − t_w) і висоту h_w = H − 2t_f та спільну вісь x.

h_w = 500 − 2·12 = 476 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·500³ − 240·476³)/12

I_x = 4,472 × 10⁸ mm⁴

Момент опору перерізу

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 4,472 × 10⁸/250

S_x = 1,789 × 10⁶ mm³ = 1789 × 10³ mm³

Відповідь

S_x = 1789 × 10³ mm³

12.Центр ваги й момент інерції

Відповідь: I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

Перерізи з отворами: розглядайте отвір як від’ємну площу. Центр ваги ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), де A₁, y₁ — для суцільної пластини, а A₂, y₂ — для отвору. Для моменту інерції площі відносно центральної осі застосуйте теорему про паралельне перенесення осей для кожної частини й відніміть отвір: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), де d — відстань від власного центра ваги кожної частини до осі, що проходить через ȳ. Прямокутник має I_c = bh³/12, а круг — I_c = πd⁴/64.

Центр ваги

ȳ = (22500·75 − 1500·60)/(22500 − 1500) = 76,07 mm

Суцільна пластина відносно ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,071² = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Отвір відносно ȳ

30·50³/12 + 1500·−16,07² = 0,6999 × 10⁶ mm⁴

Відніміть

I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

Відповідь

I_x = 41,51 × 10⁶ mm⁴

13.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 104 kPa

Ефективне напруження (Терцагі): скелет ґрунту сприймає σ′ = σ − u. Повне напруження σ — це вага всього над точкою, Σγ·h, з питомою вагою сухого ґрунту над рівнем ґрунтових вод і насиченого — під ним. Нижче рівня ґрунтових вод поровий тиск гідростатичний: u = γ_w·(глибина під рівнем ґрунтових вод).

Повне напруження

Додайте вагу кожного шару ґрунту над X. Над рівнем ґрунтових вод беріть питому вагу сухого ґрунту, під ним — насиченого.

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16,5·4 + 19·2 = 104 kPa

Відповідь

σ = 104 kPa

14.Ефективне напруження в ґрунті

Відповідь: σ = 167 kPa

Повне напруження

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 15·4 + 18,5·2 + 17,5·4 = 167 kPa

Відповідь

σ = 167 kPa

15.Консолідаційне осідання

Відповідь: S = 14,94 mm

Первинна консолідація шару глини товщиною H за ефективним напруженням посередині шару: σ′_f = σ′₀ + Δσ. Нормально ущільнена глина: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀). Переущільнена глина повторно стискається за C_r до тиску попереднього ущільнення σ′_p і лише понад нього йде за C_c. Час: t = T_v·H_dr²/c_v, де шлях фільтрації H_dr дорівнює H/2, коли вода може виходити вгорі й унизу, і H, коли дренування однобічне.

Порівняйте з тиском попереднього ущільнення

σ′_f = 110 + 55 = 165 kPa ≤ 200 kPa

Осідання

Глина залишається на лінії повторного стиснення.

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0,02·7/(1 + 0,65)·log₁₀(165/110) = 14,94 mm

Відповідь

S = 14,94 mm

16.Консолідаційне осідання

Відповідь: t = 0,6045 роки

Шлях фільтрації

H_dr = H/2 = 3/2 = 1,5 m

Час

t = T_v·H_dr²/c_v = 0,403·1,5²/1,5 = 0,6045 роки

Відповідь

t = 0,6045 роки

17.Гідростатична сила

Відповідь: F = 82,77 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN

Відповідь

F = 82,77 kN

18.Гідростатична сила

Відповідь: F = 323,7 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·5,5·6 = 323,7 kN

Відповідь

F = 323,7 kN

19.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 8,533 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(100/0,075)·0,8²/(2·9,81) = 0,8699 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·0,8699 = 8533 Pa = 8,533 kPa

Відповідь

Δp = 8,533 kPa

20.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 3,101 m

Швидкість

V = Q/A = 0,025/0,01767 = 1,415 m/s

V²/(2g) = 0,102 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·150/0,15 = 18

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 18 + 11,4)·0,102 = 3,101 m

Відповідь

H = 3,101 m

21.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 16,15 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 5·1,7 = 8,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·1,7 = 8,4 m

R = A/P = 1,012 m

Швидкість

V = (1/0,015)·1,012^2/3·0,0008^1/2 = 1,901 m/s

Витрата

Q = A·V = 8,5·1,901 = 16,15 m³/s

Відповідь

Q = 16,15 m³/s

22.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,005519 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,25/4 = 0,0625 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,9/0,1575)² = 0,005519

Відповідь

S = 0,005519

Це зниження на 5,519 m на кілометр.

23.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 12,12 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·42 = 10,3 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 10,3/0,85 = 12,12 kW

Відповідь

P_shaft = 12,12 kW

24.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 3,085 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,03142 = 1,273 m/s

V²/(2g) = 0,08263 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,5 + 4)·0,08263 = 1,446 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 5 + 1,446 = 6,446 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,04·6,446/0,82 = 3,085 kW

Відповідь

P_shaft = 3,085 kW

25.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 1083 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·4 = 48

Майбутня вартість

FV = 1 000·(1 + 0,001667)⁴⁸ = 1 000·1,083 = €1 083,21

Відповідь

FV = €1 083,21

26.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 60712 €

Щомісячний платіж

i = 0,004, N = 180

A = 150 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻¹⁸⁰) = €1 170,62

Усього відсотків

I = N·A − P = 180·1171 − 150 000 = €60 711,90

Відповідь

I = €60 711,90

27.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 4,501 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 12 000/1,12 = 10 714,29 → Σ = 10 714,29

рік 2: 18 500/1,254 = 14 748,09 → Σ = 25 462,37

рік 3: 14 000/1,405 = 9 964,92 → Σ = 35 427,30

рік 4: 16 000/1,574 = 10 168,29 → Σ = 45 595,59

рік 5: 15 500/1,762 = 8 795,12 → Σ = 54 390,70

Частка останнього року

DPB = 4 + 4 404,41/8 795,12 = 4,501

Відповідь

DPB = 4,501 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3,344 років).

28.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 37,95 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(35%) = 1 962,61

NPV(40%) = −1 290,09

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 35 + 5·1 962,61/(1 962,61 − (−1 290,09)) = 38,02%

точно: NPV(37,95%) = 0 → IRR = 37,95%

Відповідь

IRR = 37,95%

29.Нормальний розподіл

Відповідь: P = 0,1587

Суми й різниці нормальних величин: якщо X і Y незалежні та нормальні, то X + Y і X − Y також нормальні. Середні додаються чи віднімаються: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсії завжди додаються, також і для різниці: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², тож σ = √(σ_X² + σ_Y²). Середні квадратичні відхилення безпосередньо ніколи не додаються. Сума n незалежних елементів з однаковим розподілом має середнє n·μ і середнє квадратичне відхилення σ·√n. Далі стандартизуйте як звичайно: z = (x − середнє)/σ і зчитайте Φ(z).

Розподіл суми

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Стандартизуйте

z = (111,4 − 105)/6,403 = 1

Верхній хвіст

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0,8413 = 0,1587

Відповідь

P = 0,1587

30.Нормальний розподіл

Відповідь: x = 77,8 балів

Від площі назад до z: Φ(z) — це площа ліворуч від z. Для лівої площі хвоста A знайдіть у таблиці z, для якого Φ(z) = A. Права площа хвоста A означає Φ(z) = 1 − A. Центральна площа A між −z і z лишає (1 − A)/2 у кожному хвості, тож Φ(z) = (1 + A)/2. Для значення x використовуйте x = μ + zσ.

Площа ліворуч

Φ(z) = 0,9

z з таблиці

z ≈ 1,28

Назад до початкових одиниць

x = 65 + 1,28·10 = 77,8 балів

Відповідь

x = 77,8 балів

Це незалежні навчальні матеріали. ExamProblems не пов’язаний з організацією, що проводить цей іспит, і не схвалений нею; назву іспиту вжито лише для опису змісту. Іспит FE exam проводить NCEES; ця організація не пов’язана з ExamProblems і не підтримує його.

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil