Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 42 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
Балка має нерухому шарнірну опору в A і рухому опору в B на відстані 4 m від A та консоль за B до вільного кінця C. Знайдіть вертикальну реакцію RA, вважаючи напрямок угору додатним.
Складена балка защемлена в стіні в A, має проміжний шарнір у C (4 m від A) і спирається на рухому опору в D (8 m від A). Вона навантажена зосередженою силою P на відстані 7 m від A. Знайдіть реакцію RD рухомої опори.
Знайдіть осьову деформацію ε у стрижні (алюміній) у мікродеформаціях (µε = 10⁻⁶).
Ступінчастий стрижень закріплений у стіні й навантажений на вільному кінці. Знайдіть найбільше нормальне напруження σmax у стрижні.
Суцільний вал (латунь) закріплений у стіні й закручується моментом T на вільному кінці. Знайдіть кут закручування φ вільного кінця в градусах.
Суцільний вал має передавати 75 kW при 3000 об/хв, а дотичне напруження не повинно перевищувати 50 MPa. Знайдіть найменший придатний діаметр d.
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
Знайдіть згинальний момент Mx у перерізі x = 1 m від опори A. Додатними вважайте моменти, що розтягують нижні волокна, і поперечну силу, спрямовану вгору на лівій грані.
У точці σₓ = −10 MPa, σᵧ = −30 MPa і τₓᵧ = −50 MPa (розтяг додатний). Знайдіть кут θs у межах від −90° до 90° від осі x до нормалі площадки, на якій дотичне напруження досягає максимального додатного значення +R (дотичне напруження додатне в тому самому напрямку, що й τₓᵧ).
У точці навантаженої деталі σₓ = 130 MPa, σᵧ = 40 MPa і τₓᵧ = −30 MPa (розтяг додатний). Знайдіть дотичне напруження τθ на площадці, нормаль до якої повернута на 40° проти годинникової стрілки від осі x (додатне в тому самому сенсі, що й τₓᵧ).
Консоль завдовжки L защемлена в A і навантажена зосередженою силою P на відстані a = 1,5 m від A. Знайдіть прогин δB вільного кінця B.
Шарнірно оперта балка навантажена зосередженою силою P на відстані b = 2,5 m від опори B. Знайдіть максимальний прогин δmax балки.
Колона довжиною L з матеріалу (алюміній) защемлена внизу й вільна вгорі. За формулою Ейлера знайдіть її критичну силу Pcr.
Колона довжиною L з матеріалу (сталь) шарнірно оперта з обох кінців. Знайдіть її гнучкість і критичне напруження σcr за формулою Ейлера.
М’яч кидають під кутом 65° до горизонту з рівної поверхні. Опором повітря знехтуйте. Знайдіть горизонтальну відстань x, яку м’яч пролітає до удару об землю.
М’яч кидають зі швидкістю 21 m/s під кутом 35° над горизонталлю з вершини скелі заввишки 45 m. Нехтуйте опором повітря й прийміть g = 9,81 m/s². Під яким кутом α нижче від горизонталі він ударяється об землю?
Брусок без початкової швидкості ковзає похилою площиною під кутом 20° до горизонту. Коефіцієнт тертя ковзання 0,25. Знайдіть його швидкість v після того, як він проковзає 12 m вздовж площини.
Брусок масою 8 kg лежить на шорсткому горизонтальному столі (μ = 0,1). Від нього легка нитка йде через гладкий блок на краю стола до підвішеного бруска масою 3 kg. Систему відпускають без початкової швидкості. Знайдіть швидкість v брусків після того, як підвішений брусок опустився на 2 m.
Маса 150 kg на пружині жорсткістю 15 kN/m має в’язкий демпфер, що дає коефіцієнт демпфування 0,7. Знайдіть частоту загасаючих вільних коливань fd у Hz.
Маса 20 kg висить на двох пружинах, з’єднаних кінець до кінця (послідовно): верхня пружина має k₁ = 15 kN/m, нижня — k₂ = 100 kN/m. Знайдіть еквівалентну жорсткість keq системи пружин у kN/m.
Теплова машина працює між гарячим резервуаром при 675 °C і холодним при 20 °C. Вона отримує 1700 kJ теплоти. Знайдіть найбільшу роботу Wmax, яку вона могла б виконати.
Тепловий двигун за цикл отримує 1500 kJ теплоти від резервуара з температурою 850 °C, виконує 780 kJ роботи, а решту віддає резервуару з температурою 15 °C. Знайдіть сумарне генерування ентропії Sgen за цикл.
Ідеальний цикл Дизеля має ступінь стиснення r = 15 і ступінь попереднього розширення rc = v₃/v₂ = 3. На початку стиснення повітря має температуру 290 K. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть підведену теплоту qin на кілограм повітря, у kJ/kg.
Газотурбінна установка працює за циклом Брайтона зі ступенем підвищення тиску в компресорі 15. Повітря надходить у компресор при 288 K, а в турбіну — при 1400 K. Обидві машини ізоентропні. Використовуйте припущення холодного повітряного стандарту: повітря — ідеальний газ зі сталими теплоємностями, k = 1,4, cp = 1,005 kJ/(kg·K) і cv = 0,718 kJ/(kg·K). Знайдіть корисну роботу wnet на кілограм повітря, у kJ/kg.
Вода тече з витратою 12 L/s горизонтальною трубою, що звужується від 150 mm до 100 mm. Тиск у вузькій ділянці 110 kPa. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p1 у широкій ділянці.
Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 50 mm і піднімається на 1 m. У перерізі 1 тиск 300 kPa, а швидкість 1,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p2 у перерізі 2.
Вода тече з витратою 8 L/s трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя hf.
Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Поверхня води у верхньому резервуарі на 22 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.
Під час випробування насос подає 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 58 m, а його вал споживає 13,9 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.
Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 10 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 4 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.
Стіна складається з 100 mm шару (гіпсокартон) і 50 mm шару (деревина), її площа 15 m². Зовнішні поверхні мають 23 °C і -10 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.
Стіна з 150 mm (мінеральна вата) і 75 mm (пінополістирол) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -14 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 20 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.
Двигун потужністю 11 kW із частотою обертання 1440 rpm приводить шестірню з кількістю зубців 18, яка перебуває в зачепленні з колесом з кількістю зубців 20. Втратами знехтуйте. Знайдіть крутний момент T1 на валу двигуна.
У багатоступеневій зубчастій передачі колесо A (45 зуб.) на вхідному валу обертається з частотою 960 rpm і приводить колесо B (80 зуб.). Колесо C (32 зуб.) закріплене на одному валу з B і приводить колесо D (36 зуб.) на вихідному валу. Знайдіть вихідну частоту обертання nout.
Знайдіть f(t) для F(s) = 13/(s² + 2s + 17), виділивши повний квадрат, і обчисліть f(0,4).
Систему описано диференціальним рівнянням y″ + 3y′ + 2y = u′ + 9u із входом u(t) і виходом y(t). Знайдіть її передатну функцію G(s) = Y(s)/U(s) (нульові початкові умови) і обчисліть імпульсну характеристику g(t) при t = 0,5 s. Знайдіть g(0,5).
Одиничний від’ємний зворотний зв’язок має G(s) = 4(s + 5)/((s + 3)(s + 4)). На задавальний сигнал подано сходинку розміром 1. Знайдіть усталену похибку ess.
Згорніть блок-схему з G₁ = 13/(s + 2), G₂ = 2/(s + 1), внутрішнім від’ємним зворотним зв’язком H₁ = 0,5 навколо G₂ та зовнішнім від’ємним зворотним зв’язком H₂ = 1. Знайдіть статичний коефіцієнт підсилення T(0) для C(s)/R(s).
Система має передатну функцію G(s) = 97/(s² + 3s + 97) і отримує на вході одиничну сходинку. Знайдіть відсоток перерегулювання %OS перехідної характеристики.
Одиничний від’ємний зворотний зв’язок має G(s) = K/(s(s + 20)). Знайдіть коефіцієнт підсилення K, за якого перехідна характеристика має перерегулювання 5 %.
Контур з одиничним зворотним зв’язком і G(s) = K/(s(s + 1)) має відпрацьовувати лінійно наростальний сигнал r(t) = 1t з усталеною похибкою 0,01. Знайдіть коефіцієнт підсилення K.
ПД-регулятор C(s) = 25 + Kd·s керує об’єктом G(s) = 1/(s(s + 4)) у контурі з одиничним зворотним зв’язком. Знайдіть диференціальний коефіцієнт Kd, за якого замкнена система має коефіцієнт демпфування ζ = 0,9.
Відповідь: RA = 10 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію.
Проти годинникової стрілки — додатний напрямок.
Відповідь: RD = 22,5 kN
Статична рівновага: для тіла в спокої ΣFx = 0, ΣFy = 0 і ΣM = 0 відносно будь-якої точки. Замініть кожне розподілене навантаження його рівнодійною (площею епюри навантаження), прикладеною в центрі ваги епюри, і складіть рівняння моментів відносно опори, щоб виключити її реакцію. Проміжний шарнір не може передавати згинальний момент, що дає одне додаткове рівняння: момент відносно шарніра сил з будь-якого боку дорівнює нулю.
У шарнірі немає моменту, тож моменти відносно C лише для CD мають зрівноважуватися.
Відповідь: ε = 10004 µε
Закон Гука: у пружній області σ = E·ε. Разом із σ = P/A та ε = δ/L це дає δ = PL/(AE).
E for алюміній = 70 GPa = 70000 MPa.
Відповідь: σmax = 547,1 MPa
Осьово навантажені елементи: кожна призматична ділянка підкоряється δ = PL/(AE). Для послідовних ділянок видовження додаються.
Вільний кінець сприймає P, тож кожен переріз стрижня сприймає ту саму осьову силу P. Змінюються лише площі й матеріали.
Тонша ділянка має меншу площу, тож у ній більше напруження.
Відповідь: φ = 12,26 °
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
Відповідь: d = 28,97 mm
Кручення круглих валів: дотичне напруження лінійно зростає від нуля в центрі до τmax = T·r/J на поверхні, де J = πd⁴/32 для суцільного вала і J = π(do⁴ − di⁴)/32 для порожнистого. Кут закручування φ = TL/(GJ) у радіанах. Потужність і крутний момент пов’язані як P = T·ω.
На практиці округлюють до найближчого більшого стандартного розміру.
Відповідь: Mx = 10 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Рівновага всієї балки.
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
Відповідь: Mx = 59,17 kN·m
Метод перерізів: розріжте балку там, де потрібні внутрішні сили, і залиште одну частину. Поперечна сила V зрівноважує вертикальні сили цієї частини, а згинальний момент M — їхні моменти відносно перерізу.
Рівновага всієї балки.
Враховуються лише сили ліворуч від перерізу. Ділянка розподіленого навантаження діє як одна сила посередині цієї ділянки.
Відповідь: θs = −84,35 °
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
На колі Мора верхня точка (+R) віддалена на 90° від головної точки σ₁; на елементі це 45°.
Додатні кути відлічуються проти годинникової стрілки.
Відповідь: τθ = −49,53 MPa
Перетворення напружень при плоскому напруженому стані: на площадці, повернутій на кут θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Коло Мора показує всі площадки одночасно: його центр C = (σₓ + σᵧ)/2, а радіус R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Головні напруження дорівнюють C ± R, а найбільше дотичне напруження в площині дорівнює R.
Відповідь: δB = 1,266 mm
Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).
Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.
Прогин під силою плюс кут повороту під силою, помножений на решту довжини.
Відповідь: δmax = 8,903 mm
Прогин балок: прогини отримують подвійним інтегруванням кривини M/(EI). Типові випадки наведено в таблицях, наприклад PL³/(3EI) для консолі із силою на кінці та 5wL⁴/(384EI) для шарнірно опертої балки з рівномірним навантаженням на весь проліт. Прогини від окремих навантажень додаються (принцип накладання).
Рахуйте в N і mm: P у N, w у N/mm (kN/m = N/mm), L у mm, E у N/mm² (GPa × 1000), I у mm⁴.
Прирівнявши до нуля кут повороту на довшій ділянці, отримаємо положення.
Відповідь: Pcr = 2,249 kN
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Прямокутник втрачає стійкість відносно слабкої осі, з меншим розміром у кубі.
Відповідь: σcr = 31,58 MPa
Втрата стійкості за Ейлером: гнучка колона втрачає стійкість при Pcr = π²EI/(KL)², де KL — розрахункова довжина: K = 1 для шарнір–шарнір, 2 для защемлення–вільний кінець, 0,7 для защемлення–шарнір і 0,5 для защемлення–защемлення. Вона вигинається відносно осі з найменшим I. Формула справедлива для гнучких колон, критичне напруження яких менше за межу текучості.
Круглий переріз має однаковий I відносно будь-якої осі.
Відповідь: x = 31,24 m
Рух тіла, кинутого під кутом: без опору повітря x = vxt і y = h + vyt − ½gt². Обидва напрями незалежні, їх пов’язує лише спільний час.
Горизонтальна швидкість стала; вертикальний рух має стале прискорення g = 9,81 m/s² донизу.
Старт і приземлення на одній висоті: t = 2vy/g.
Відповідь: α = 61,79 °
Projectile motion: with no air resistance, x = vxt and y = h + vyt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.
Енергія або v² = v₀² + 2as у вертикальному напрямку.
Відповідь: v = 5,021 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Брусок опускається на висоту d·sin θ, а тертя забирає μmg·cos θ·d. Маса скорочується.
Відповідь: v = 2,801 m/s
Теорема про кінетичну енергію: зміна кінетичної енергії дорівнює роботі всіх сил. Якщо записати тяжіння й пружини як потенціальну енергію (mgh і ½kx²), виходить баланс: початкова енергія = кінцева енергія + енергія, втрачена на тертя (μN·d).
Відповідь: fd = 1,137 Hz
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Відповідь: keq = 13,04 kN/m
Вільні коливання системи маса–пружина: власна частота без демпфування ωn = √(k/m) у rad/s, і fn = ωn/(2π) у Hz. В’язкий демпфер c дає коефіцієнт демпфування ζ = c/cc, де критичне демпфування cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. Недодемпфована система (ζ < 1) коливається з частотою ωd = ωn·√(1 − ζ²). Жорсткості паралельних пружин додаються, k = k₁ + k₂; послідовних — додаються обернені величини, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
Послідовні пружини передають однакову силу, а їхні прогини додаються, тож додаються обернені жорсткості: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
Відповідь: Wmax = 1174 kJ
Обмеження другого закону: жоден цикл між резервуарами з абсолютними температурами TH і TL не може перевершити оборотний цикл (Карно): ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) і COPHP,max = TH/(TH − TL). Енергія завжди зберігається: QH = W + QL.
Відповідь: Sgen = 1,163 kJ/K
Генерування ентропії: за повний цикл зміна ентропії робочого тіла дорівнює нулю. Гарячий резервуар втрачає QH/TH, а холодний отримує QL/TL. Їхня сума — це згенерована ентропія, яка дорівнює нулю для оборотного циклу й додатна для кожного реального.
Sgen > 0, тож двигун можливий, але необоротний.
Відповідь: qin = 1722 kJ/kg
Цикл Дизеля (двигун із запалюванням від стиснення): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення, 4→1 відведення теплоти при сталому об’ємі. Зі ступенем стиснення r = v₁/v₂ і ступенем попереднього розширення rc = v₃/v₂: T₂ = T₁·rk−1, T₃ = rc·T₂, qin = cp·(T₃ − T₂) і η = 1 − (1/rk−1)·(rck − 1)/(k·(rc − 1)).
Відповідь: wnet = 419,9 kJ/kg
Цикл Брайтона (газова турбіна): 1→2 ізоентропне стиснення, 2→3 підведення теплоти при сталому тиску, 3→4 ізоентропне розширення в турбіні, 4→1 відведення теплоти при сталому тиску. Зі ступенем підвищення тиску rp = P₂/P₁: T₂ = T₁·rp(k−1)/k, T₄ = T₃/rp(k−1)/k і η = 1 − 1/rp(k−1)/k. Корисна робота w = cp·[(T₃ − T₄) − (T₂ − T₁)]. З ізоентропними ККД компресор потребує ws/ηc, а турбіна дає ηt·ws.
Коефіцієнт зворотної роботи: wc/wt = 44,6%.
Відповідь: p1 = 110,9 kPa
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Відповідь: p2 = 267,2 kPa
Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.
Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.
Відповідь: hf = 12,48 m
Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.
Відповідь: Q = 259,2 L/s
Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.
Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.
Відповідь: η = 81,87 %
Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: Pshaft = Ph/ηpump, а двигун споживає Pel = Pshaft/ηmotor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.
Відповідь: H = 15,6 m
Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: Pshaft = Ph/ηpump, а двигун споживає Pel = Pshaft/ηmotor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.
Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.
Відповідь: Ti = 1 °C
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.
Відповідь: Q̇ = 118,6 W
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Відповідь: T1 = 72,95 N·m
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
Відповідь: nout = 480 rpm
Зубчасті передачі: у колесах, що зачеплені, швидкість у точці контакту зубців однакова, тож n₁·N₁ = n₂·N₂: колесо з меншою кількістю зубців обертається швидше. Колеса на одному валу обертаються з однаковою частотою. Потужність передається далі (за вирахуванням втрат), тож зі зменшенням частоти обертання крутний момент зростає: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, а P = T·ω, де ω = 2π·n/60.
загальне передаточне відношення = 2 : 1
Відповідь: f(0.4) = 2,178
Перетворення Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt перетворює похідні на множення на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартні пари: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а зсув s → s + σ множить оригінал на e−σt. Щоб знайти оригінал раціональної F(s), розкладіть її на простіші дроби: коефіцієнт простого полюса p дорівнює A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема про кінцеве значення: f(∞) = lims→0 s·F(s), справедлива лише тоді, коли всі полюси s·F(s) лежать у лівій півплощині. Теорема про початкове значення: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Відповідь: g(0.5) = 2,277
Перетворення Лапласа: F(s) = ∫₀∞ f(t)·e−st dt перетворює похідні на множення на s: ℒ{f′} = sF(s) − f(0), ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0). Стандартні пари: 1 ↔ 1/s, e−at ↔ 1/(s + a), t·e−at ↔ 1/(s + a)², sin ωt ↔ ω/(s² + ω²), cos ωt ↔ s/(s² + ω²), а зсув s → s + σ множить оригінал на e−σt. Щоб знайти оригінал раціональної F(s), розкладіть її на простіші дроби: коефіцієнт простого полюса p дорівнює A = [(s − p)·F(s)] при s = p. Теорема про кінцеве значення: f(∞) = lims→0 s·F(s), справедлива лише тоді, коли всі полюси s·F(s) лежать у лівій півплощині. Теорема про початкове значення: f(0⁺) = lims→∞ s·F(s).
Відповідь: ess = 0,375
Алгебра блок-схем: блоки, з’єднані послідовно, перемножуються (G₁·G₂), блоки, з’єднані паралельно, додаються (G₁ + G₂), а контур із прямим шляхом G і шляхом зворотного зв’язку H зводиться до T = G/(1 + G·H) для від’ємного зворотного зв’язку та G/(1 − G·H) для додатного. Спершу згортайте внутрішні контури, потім рухайтеся назовні. Полюси замкненої системи — корені характеристичного рівняння 1 + G(s)H(s) = 0. Для стійкого контуру вхідна сходинка розміром A дає усталений вихід A·T(0); за одиничного зворотного зв’язку усталена похибка на сходинку дорівнює A/(1 + Kp), де Kp = G(0).
Відповідь: T(0) = 0,8667
Алгебра блок-схем: блоки, з’єднані послідовно, перемножуються (G₁·G₂), блоки, з’єднані паралельно, додаються (G₁ + G₂), а контур із прямим шляхом G і шляхом зворотного зв’язку H зводиться до T = G/(1 + G·H) для від’ємного зворотного зв’язку та G/(1 − G·H) для додатного. Спершу згортайте внутрішні контури, потім рухайтеся назовні. Полюси замкненої системи — корені характеристичного рівняння 1 + G(s)H(s) = 0. Для стійкого контуру вхідна сходинка розміром A дає усталений вихід A·T(0); за одиничного зворотного зв’язку усталена похибка на сходинку дорівнює A/(1 + Kp), де Kp = G(0).
Відповідь: %OS = 61,62 %
Перехідна характеристика: система першого порядку G(s) = K/(τs + 1) відповідає на сходинку розміром U як y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): вона досягає 63,2 % кінцевого значення K·U за одну сталу часу τ і 98 % за 4τ. Система другого порядку G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) має полюси s = −ζωₙ ± jωd, де ωd = ωₙ√(1 − ζ²). За 0 < ζ < 1 перехідна характеристика має перерегулювання: відсоток перерегулювання %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), час піку tp = π/ωd, а 2-відсотковий час встановлення ts ≈ 4/(ζωₙ). Порівняйте знаменник із s² + 2ζωₙs + ωₙ², щоб знайти ωₙ і ζ. Для системи маса–пружина–демпфер ωₙ = √(k/m) і ζ = c/(2√(km)); для послідовного RLC-кола ωₙ = 1/√(LC) і ζ = (R/2)·√(C/L).
Знаменник має збігатися з s² + 2ζωₙs + ωₙ².
Відповідь: K = 210
Перехідна характеристика: система першого порядку G(s) = K/(τs + 1) відповідає на сходинку розміром U як y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): вона досягає 63,2 % кінцевого значення K·U за одну сталу часу τ і 98 % за 4τ. Система другого порядку G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) має полюси s = −ζωₙ ± jωd, де ωd = ωₙ√(1 − ζ²). За 0 < ζ < 1 перехідна характеристика має перерегулювання: відсоток перерегулювання %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), час піку tp = π/ωd, а 2-відсотковий час встановлення ts ≈ 4/(ζωₙ). Порівняйте знаменник із s² + 2ζωₙs + ωₙ², щоб знайти ωₙ і ζ. Для системи маса–пружина–демпфер ωₙ = √(k/m) і ζ = c/(2√(km)); для послідовного RLC-кола ωₙ = 1/√(LC) і ζ = (R/2)·√(C/L).
Відповідь: K = 100
Усталена похибка: у контурі з одиничним зворотним зв’язком і передавальною функцією розімкненої системи G(s) похибка дорівнює E(s) = R(s)/(1 + G(s)), а за теоремою про кінцеве значення ess = lims→0 s·E(s). Тип системи — це кількість полюсів G(s) у точці s = 0. Константи похибок: Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s) і Ka = lim s²·G(s), усі при s → 0. Східчастий сигнал величини A дає ess = A/(1 + Kp), лінійно наростальний A·t дає A/Kv, а параболічний A·t²/2 дає A/Ka. Контур типу 0 відпрацьовує східчастий сигнал зі скінченною похибкою, контур типу 1 відпрацьовує його точно, а лінійно наростальний — зі скінченною похибкою.
Великий коефіцієнт підсилення робить цей контур дуже слабко демпфованим: ζ = 0,05. Саме через цю суперечність застосовують коригувальні ланки.
Відповідь: Kd = 5 s
П-, ПІ- і ПІД-регулювання: регулятор C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s діє на похибку. Пропорційний коефіцієнт підсилення робить контур швидшим і зменшує похибку об’єкта типу 0, але ніколи не усуває її. Інтегральна складова додає полюс у точці s = 0: тип системи зростає на одиницю, і східчастий сигнал відпрацьовується без похибки. Диференціальна складова додає демпфування. Щоб підібрати коефіцієнти, запишіть характеристичний поліном замкненої системи й порівняйте його з s² + 2ζωns + ωn². Тоді %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd при ωd = ωn√(1 − ζ²), а ts ≈ 4/(ζωn).
Диференціальна складова додає демпфування, не змінюючи ωₙ.
ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-mechanical