Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині
p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку
F = ρg·hc·A
Центр тиску
yp = yc + Ic/(ycA)
Прямокутник
Ic = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність
A1v1 = A2v2
Бернуллі
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
Витрата
Q = A·v
Площа круга
A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії
ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість
V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати
hm = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K
вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску
Δp = ρ·g·hf
Два відкриті резервуари
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу
Pshaft = Ph/ηpump
Електрична потужність
Pel = Pshaft/ηmotor
Напір насоса
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
Втрати в системі
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня
затворd = 2 mH = 1 m

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гідростатична силаСкладна
затворd = 2 mH = 1 m

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Нерозривність і БернулліСередня
Q = ?d = 25 mm, Cd​ = 0,65h = 2 m

Вода витікає з великого відкритого резервуара через гострокромковий отвір діаметром 25 mm. Рівень води підтримують на 2 m вище за отвір, коефіцієнт витрати 0,65. Знайдіть витрату Q. Прийміть g = 9,81 m/s².

d = 25 mmh = 2 mCd = 0,65g = 9,81 m/s²
Q = L/s
4.Нерозривність і БернулліСкладна
pair​ = 70 kPaQ = ?d = 20 mmh = 5 m

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 70 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 20 mm, розташований на 5 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q. Візьміть g = 9,81 m/s².

pair = 70 kPa (надлишковий)h = 5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня
V = 2,9 m/sD = 75 mmL = 300 mf = 0,02

Вода тече із середньою швидкістю 2,9 m/s трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя hf.

V = 2,9 m/sL = 300 mD = 75 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна
K = 2вільний вихідH = ?L = 100 m, D = 200 mm, f = 0,024× коліно (K = 0,3)

Труба довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 200 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 2). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 60 L/s?

Q = 60 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,02Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×4)Kvalve = 2
H = m
7.Насоси й потужність насосівСередня
PQ = 50 L/sH = 50 m

Під час випробування насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 50 m, а його вал споживає 32,7 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 50 L/sH = 50 mPshaft = 32,7 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насоси й потужність насосівСкладна
350 kPa (надлишковий)PQ = 15 L/sΔz = 7 mL = 100 m, D = 100 mm, f = 0,02, ΣK = 8

Насос перекачує 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 7 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 350 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 15 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8ptank = 350 kPa
H = m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 73,58 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
затворd = 2 mH = 1 mF

Рівнодійна сила

F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·2,5·3 = 73,58 kN

Відповідь

F = 73,58 kN
2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 43,16 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
затворd = 2 mH = 1 mF

Рівнодійна сила

F = ρ·g·yc·A = 880·9,81·2,5·2 = 43,16 kN

Відповідь

F = 43,16 kN
3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 1,999 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ідеальна швидкість струменя

√(2gh) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Дійсна витрата

Коефіцієнт витрати враховує стиснення струменя і тертя на кромці.

Q = Cd·A·√(2gh) = 0,65·0,0004909·6,264 = 0,001999 m³/s = 1,999 L/s

Відповідь

Q = 1,999 L/s
4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 4,848 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(70000/1000 + 9,81·5)) = 15,43 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,0003142·15,43 = 0,004848 m³/s = 4,848 L/s

Відповідь

Q = 4,848 L/s
5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: hf = 34,29 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,9²/(2·9,81) = 0,4286 m

Дарсі–Вейсбах

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(300/0,075)·2,9²/(2·9,81) = 34,29 m

Відповідь

hf = 34,29 m
6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 2,733 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·100/0,2 = 10
ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 = 3,7

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 10 + 3,7)·0,1859 = 2,733 m

Відповідь

H = 2,733 m
7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 75 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: Pshaft = Ph/ηpump, а двигун споживає Pel = Pshaft/ηmotor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·50 = 24,52 kW

ККД

η = Ph/Pshaft = 24,52/32,7 = 75%

Відповідь

η = 75%
8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 47,88 m

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: Pshaft = Ph/ηpump, а двигун споживає Pel = Pshaft/ηmotor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Швидкість

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s
V²/(2g) = 0,1859 m

Втрати напору

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,1859 = 5,205 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 350000/(1000·9,81) = 35,68 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 35,68 + 5,205 = 47,88 m

Відповідь

H = 47,88 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics