Гідростатична сила
- Тиск на глибині
- p = ρgh
- Сила тиску на вертикальну стінку
- F = ρg·hc·A
- Центр тиску
- yp = yc + Ic/(ycA)
- Прямокутник
- Ic = bH³/12
Механіка рідини: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Нерозривність і Бернуллі
- Нерозривність
- A1v1 = A2v2
- Бернуллі
- p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
- Витрата
- Q = A·v
- Площа круга
- A = πd²/4
Тертя в трубах і втрати напору
- Число Рейнольдса
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- Режим течії
- ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
- Середня швидкість
- V = Q/A, A = π·D²/4
- Дарсі–Вейсбах
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- Місцеві втрати
- hm = ΣK·V²/(2g)
- Типові значення K
- вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
- Перепад тиску
- Δp = ρ·g·hf
- Два відкриті резервуари
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- Вільний вихід
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Насоси й потужність насосів
- Гідравлічна потужність
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- Потужність на валу
- Pshaft = Ph/ηpump
- Електрична потужність
- Pel = Pshaft/ηmotor
- Напір насоса
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- Втрати в системі
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
2Задачі для практики
1.Гідростатична силаСередня
Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.
d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
2.Гідростатична силаСкладна
Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.
d = 2,5 mH = 1 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²
F = kN
3.Нерозривність і БернулліСередня
Трубка Піто–Прандтля в аеродинамічній трубі показує різницю 900 Pa між тиском гальмування і статичним тиском. Густина повітря 1,2 kg/m³. Знайдіть швидкість повітря v.
p0 − p = 900 Paρ = 1,2 kg/m³
v = m/s
4.Нерозривність і БернулліСкладна
У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 90 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 20 mm, розташований на 1 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q. Візьміть g = 9,81 m/s².
pair = 90 kPa (надлишковий)h = 1 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²
Q = L/s
5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня
Вода тече із середньою швидкістю 2,7 m/s трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 150 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя hf.
V = 2,7 m/sL = 200 mD = 150 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²
hf = m
6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна
Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 200 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Поверхня води у верхньому резервуарі на 26 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 0,2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.
Δz = 26 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,015Kentrance = 0,5Kbend = 0,3 (×2)Kvalve = 0,2Kexit = 1,0
Q = L/s
7.Насоси й потужність насосівСередня
Під час випробування насос подає 100 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 64 m, а його вал споживає 104,6 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.
Q = 100 L/sH = 64 mPshaft = 104,6 kWg = 9,81 m/s²
η = %
8.Насоси й потужність насосівСкладна
Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 7 m вища. Труба довжиною 500 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.
Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 150 mmf = 0,022ΣK = 8
H = m
3Розчини
1.Гідростатична сила
Відповідь: F = 88,29 kN
Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.
Глибина центра ваги і площа
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
Рівнодійна сила
F = ρ·g·yc·A = 1000·9,81·4,5·2 = 88,29 kN
Відповідь
F = 88,29 kN
2.Гідростатична сила
Відповідь: F = 55,62 kN
Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·yc·A. Вона діє в центрі тиску, ycp = yc + Ic/(ycA), що завжди лежить нижче центра ваги.
Глибина центра ваги і площа
yc = d + H/2 = 2,5 + 1/2 = 3 m
A = H·b = 1·1,5 = 1,5 m²
Рівнодійна сила
F = ρ·g·yc·A = 1260·9,81·3·1,5 = 55,62 kN
Відповідь
F = 55,62 kN
3.Нерозривність і Бернуллі
Відповідь: v = 38,73 m/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Рівняння Бернуллі до точки гальмування
Біля носика потік зупиняється, тож його кінетична енергія проявляється як додатковий тиск.
p0 − p = ½ρv²
v = √(2·900/1,2) = 38,73 m/s
Відповідь
v = 38,73 m/s
4.Нерозривність і Бернуллі
Відповідь: Q = 4,439 L/s
Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.
Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя
v = √(2·(90000/1000 + 9,81·1)) = 14,13 m/s
Витрата
Q = A·v = 0,0003142·14,13 = 0,004439 m³/s = 4,439 L/s
Відповідь
Q = 4,439 L/s
5.Тертя в трубах і втрати напору
Відповідь: hf = 10,9 m
Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.
Швидкісний напір
V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m
Дарсі–Вейсбах
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(200/0,15)·2,7²/(2·9,81) = 10,9 m
Відповідь
hf = 10,9 m
6.Тертя в трубах і втрати напору
Відповідь: Q = 170,6 L/s
Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом hf = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати hm = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = hf + hm, з урахуванням втрат на виході K = 1.
Коефіцієнти втрат
f·L/D = 0,015·200/0,2 = 15
ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,3
Рівняння енергії
Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.
26 = (15 + 2,3)·V²/(2·9,81)
V = √(2·9,81·26/17,3) = 5,43 m/s
Витрата
Q = V·π·D²/4 = 5,43·0,03142 = 0,1706 m³/s = 170,6 L/s
Відповідь
Q = 170,6 L/s
7.Насоси й потужність насосів
Відповідь: η = 60,02 %
Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: Pshaft = Ph/ηpump, а двигун споживає Pel = Pshaft/ηmotor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.
Гідравлічна потужність
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,1·64 = 62,78 kW
ККД
η = Ph/Pshaft = 62,78/104,6 = 60,02%
Відповідь
η = 60,02%
8.Насоси й потужність насосів
Відповідь: H = 28,24 m
Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: Pshaft = Ph/ηpump, а двигун споживає Pel = Pshaft/ηmotor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.
Швидкість
V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s
V²/(2g) = 0,2611 m
Втрати напору
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (73,33 + 8)·0,2611 = 21,24 m
Напір насоса
Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.
H = Δz + hL = 7 + 21,24 = 28,24 m
Відповідь
H = 28,24 m
ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics