Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 100 mm до 25 mm. У широкій частині тиск 160 kPa, а швидкість 0,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 100 mmd₂ = 25 mmp₁ = 160 kPav₁ = 0,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Горизонтальним витратоміром Вентурі (вхід 250 mm, горловина 125 mm) тече вода. Ртутний U-подібний манометр, під’єднаний між входом і горловиною, показує різницю рівнів 70 mm. Коефіцієнт витрати 0,97. Знайдіть витрату Q. Прийміть ρ = 1000 kg/m³ для води, 13 600 kg/m³ для ртуті та g = 9,81 m/s².

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 70 mmC_d = 0,97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,7 m/s трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,7 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 150 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Поверхня води у верхньому резервуарі на 22 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 22 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 65% подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 26 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sH = 26 mη = 65%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 9 m вища. Труба довжиною 400 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 100 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 15 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 49,05 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2/2 = 2,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,5·2 = 49,05 kN

Відповідь

F = 49,05 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 3,111 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·3·4 = 148,3 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1,333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 1,333/(3·4) = 3,111 m

Відповідь

y_cp = 3,111 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 88,28 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/25)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 12²)/1000 = −71,72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 160 + (−71,72) = 88,28 kPa

Відповідь

p₂ = 88,28 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 51,14 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Різниця тисків за манометром

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,07 = 8652 Pa

Швидкість у горловині

Рівняння нерозривності й рівняння Бернуллі разом дають ідеальну швидкість у горловині.

β = 125/250 = 0,5

v₂ = √(2·8652/(1000·(1 − 0,0625))) = 4,296 m/s

Дійсна витрата

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,97·0,01227·4,296 = 0,05114 m³/s = 51,14 L/s

Відповідь

Q = 51,14 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 13,93 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,7²/(2·9,81) = 0,3716 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(500/0,2)·2,7²/(2·9,81) = 13,93 m

Відповідь

h_f = 13,93 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 69,76 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·200/0,15 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

22 = (20 + 7,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·22/27,7) = 3,947 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 3,947·0,01767 = 0,06976 m³/s = 69,76 L/s

Відповідь

Q = 69,76 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 19,62 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·26 = 12,75 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 12,75/0,65 = 19,62 kW

Відповідь

P_shaft = 19,62 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 37,04 m

Швидкість

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (88 + 8)·0,1859 = 17,85 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 9 + 10,19 + 17,85 = 37,04 m

Відповідь

H = 37,04 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics