Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 250 mm і діаметром горловини 125 mm. Тиск на вході на 29 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmp₁ − p₂ = 29 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Сопло фонтана спрямоване вертикально вгору. Безпосередньо під соплом підвідна труба має діаметр 75 mm і надлишковий тиск 130 kPa. Діаметр вихідного отвору сопла 20 mm, різницею висот у межах сопла можна знехтувати. Нехтуючи втратами й опором повітря, знайдіть висоту H, на яку струмінь піднімається над соплом. Прийміть g = 9,81 m/s².

d₁ = 75 mmp₁ = 130 kPa (надлишковий)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 50 L/s трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 50 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,015g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 100 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Поверхня води у верхньому резервуарі на 32 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 32 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 82% подає 10 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 76 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 10 L/sH = 76 mη = 82%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 19 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 72%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 20 L/sΔz = 19 mL = 200 mD = 100 mmf = 0,022ΣK = 6η = 72%

P_shaft = kW

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 40,47 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN

Відповідь

F = 40,47 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 148,3 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4·3 = 148,3 kN

Відповідь

F = 148,3 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 96,52 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(125/250)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·29000/(1000·(1 − 0,0625))) = 7,866 m/s

v₁ = 1,966 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,01227·7,866 = 0,09652 m³/s = 96,52 L/s

Відповідь

Q = 96,52 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: H = 13,32 m

Швидкість на виході

β = 20/75 = 0,2667

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·130000/(1000·0,9949)) = 16,17 m/s

Висота струменя

Рівняння Бернуллі вздовж струменя: у верхній точці швидкість дорівнює нулю, а тиск знову атмосферний.

H = v₂²/(2g) = 16,17²/(2·9,81) = 13,32 m

Відповідь

H = 13,32 m

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,9683 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,592²/(2·9,81) = 0,1291 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,015·(100/0,2)·1,592²/(2·9,81) = 0,9683 m

Відповідь

h_f = 0,9683 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 33,55 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·200/0,1 = 30

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 2 + 1,0 = 4,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

32 = (30 + 4,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·32/34,4) = 4,272 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,272·0,007854 = 0,03355 m³/s = 33,55 L/s

Відповідь

Q = 33,55 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 9,092 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·76 = 7,456 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 7,456/0,82 = 9,092 kW

Відповідь

P_shaft = 9,092 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 9,681 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,02/0,007854 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (44 + 6)·0,3305 = 16,53 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 19 + 16,53 = 35,53 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,02·35,53/0,72 = 9,681 kW

Відповідь

P_shaft = 9,681 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics