Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода витікає з великого відкритого резервуара через гострокромковий отвір діаметром 40 mm. Рівень води підтримують на 2 m вище за отвір, коефіцієнт витрати 0,62. Знайдіть витрату Q. Прийміть g = 9,81 m/s².

d = 40 mmh = 2 mC_d = 0,62g = 9,81 m/s²

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 40 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 1,5 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 3,5 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть абсолютний тиск p_C у точці C. Атмосферний тиск 101,3 kPa.

d = 40 mmz_C = +1,5 mz₂ = −3,5 mg = 9,81 m/s²p_atm = 101,3 kPa

p_C = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 50 L/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 50 L/sL = 50 mD = 250 mmf = 0,022g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 200 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,015. Поверхня води у верхньому резервуарі на 20 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 0,2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 20 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 0,2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 60% подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 54 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 15 L/sH = 54 mη = 60%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 8 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 82%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 50 L/sΔz = 8 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 6η = 82%

P_shaft = kW

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 206 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3,5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·6 = 206 kN

Відповідь

F = 206 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 38,63 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,25 = 38,63 kN

Відповідь

F = 38,63 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 4,881 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Ідеальна швидкість струменя

√(2gh) = √(2·9,81·2) = 6,264 m/s

Дійсна витрата

Коефіцієнт витрати враховує стиснення струменя і тертя на кромці.

Q = C_d·A·√(2gh) = 0,62·0,001257·6,264 = 0,004881 m³/s = 4,881 L/s

Відповідь

Q = 4,881 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p_C = 52,25 kPa

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·3,5) = √(2·9,81·3,5) = 8,287 m/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до C

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101,3 − 1000·(8,287²/2 + 9,81·1,5)/1000 = 101,3 − 49,05 = 52,25 kPa

Відповідь

p_C = 52,25 kPa

Якщо цей тиск знизиться до тиску насиченої пари води, сифон перестане працювати.

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,2327 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,019²/(2·9,81) = 0,05288 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,022·(50/0,25)·1,019²/(2·9,81) = 0,2327 m

Відповідь

h_f = 0,2327 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 165,4 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·150/0,2 = 11,25

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 0,2 + 1,0 = 2,9

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

20 = (11,25 + 2,9)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·20/14,15) = 5,266 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 5,266·0,03142 = 0,1654 m³/s = 165,4 L/s

Відповідь

Q = 165,4 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 13,24 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·54 = 7,946 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 7,946/0,6 = 13,24 kW

Відповідь

P_shaft = 13,24 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 7,797 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,03142 = 1,592 m/s

V²/(2g) = 0,1291 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (33 + 6)·0,1291 = 5,035 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 8 + 5,035 = 13,04 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,05·13,04/0,82 = 7,797 kW

Відповідь

P_shaft = 7,797 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics