Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 200 mm до 100 mm. У широкій частині тиск 340 kPa, а швидкість 2,25 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 340 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 150 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 30 mm, розташований на 2 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 150 kPa (надлишковий)h = 2 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,6 m/s горизонтальною трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,6 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0,018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 200 L/s?

Q = 200 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 34 m. ККД насоса 70%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 88%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 50 L/sH = 34 mη_pump = 70%η_motor = 88%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 6 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 3 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 200 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 120 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 3p_tank = 200 kPa

H = m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 40,47 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 1,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·1,5 = 40,47 kN

Відповідь

F = 40,47 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,375 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·4,5 = 111,2 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 1,5·3³/12 = 3,375 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 3,375/(2·4,5) = 2,375 m

Відповідь

y_cp = 2,375 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 302 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(200/100)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 9²)/1000 = −37,97 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 340 + (−37,97) = 302 kPa

Відповідь

p₂ = 302 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 13,02 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(150000/1000 + 9,81·2)) = 18,42 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,0007069·18,42 = 0,01302 m³/s = 13,02 L/s

Відповідь

Q = 13,02 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 324,5 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(400/0,075)·2,6²/(2·9,81) = 33,08 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·33,08 = 324480 Pa = 324,5 kPa

Відповідь

Δp = 324,5 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 11,3 m

Швидкість

V = Q/A = 0,2/0,07069 = 2,829 m/s

V²/(2g) = 0,408 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·300/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Сумарні втрати напору

h_f = 20·0,408 = 8,161 m

h_m = 7,7·0,408 = 3,142 m

Δz = h_f + h_m = 11,3 m

Відповідь

Δz = 11,3 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 27,07 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·34 = 16,68 kW

Потужність на валу

P_shaft = 16,68/0,7 = 23,82 kW

Електрична потужність

P_el = 23,82/0,88 = 27,07 kW

Відповідь

P_el = 27,07 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 32,17 m

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 3)·0,3046 = 5,787 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9,81) = 20,39 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 20,39 + 5,787 = 32,17 m

Відповідь

H = 32,17 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics