Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече з витратою 11 L/s горизонтальною трубою, що звужується від 100 mm до 50 mm. Тиск у вузькій ділянці 270 kPa. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₁ у широкій ділянці.

Q = 11 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 270 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 75 mm і піднімається на 2 m. У перерізі 1 тиск 200 kPa, а швидкість 0,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 200 kPav₁ = 0,75 m/sΔz = 2 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,5 m/s трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,5 m/sL = 100 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 150 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 11 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 10) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 11 mL = 100 mD = 150 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 48 m, а його вал споживає 28,7 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 50 L/sH = 48 mP_shaft = 28,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 8 m вища. Труба довжиною 500 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 75%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 60 L/sΔz = 8 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,018ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 82,77 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN

Відповідь

F = 82,77 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 88,29 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,5·2 = 88,29 kN

Відповідь

F = 88,29 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₁ = 284,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкості

v₁ = Q/A₁ = 0,011/0,007854 = 1,401 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,011/0,001963 = 5,602 m/s

Бернуллі

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 270 + ½·1000·(5,602² − 1,401²)/1000 = 270 + 14,71 = 284,7 kPa

Відповідь

p₁ = 284,7 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 179,8 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0,75·(100/75)² = 1,333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0,75² − 1,333²)/1000 = −0,6076 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·2/1000 = 19,62 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−0,6076) − 19,62 = 179,8 kPa

Відповідь

p₂ = 179,8 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 7,645 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(100/0,075)·2,5²/(2·9,81) = 7,645 m

Відповідь

h_f = 7,645 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 52,24 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·100/0,15 = 12

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 + 1,0 = 12,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

11 = (12 + 12,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·11/24,7) = 2,956 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 2,956·0,01767 = 0,05224 m³/s = 52,24 L/s

Відповідь

Q = 52,24 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 82,03 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,05·48 = 23,54 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 23,54/28,7 = 82,03%

Відповідь

η = 82,03%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 8,908 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,04909 = 1,222 m/s

V²/(2g) = 0,07615 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0,07615 = 3,351 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 8 + 3,351 = 11,35 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,06·11,35/0,75 = 8,908 kW

Відповідь

P_shaft = 8,908 kW

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics