Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 75 mm до 40 mm. У широкій частині тиск 250 kPa, а швидкість 2,25 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 250 kPav₁ = 2,25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 30 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 30 mm, розташований на 4,5 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 30 kPa (надлишковий)h = 4,5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 80 L/s трубою довжиною 800 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 80 L/sL = 800 mD = 200 mmf = 0,02g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 10). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 10

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 150 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 48 m, а його вал споживає 117,7 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 150 L/sH = 48 mP_shaft = 117,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 50 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 5 m вища. Труба довжиною 500 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 150 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 500 mD = 250 mmf = 0,02ΣK = 8p_tank = 150 kPa

H = m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 117,7 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Відповідь

F = 117,7 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,167 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2·6 = 117,7 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 2/(2·6) = 2,167 m

Відповідь

y_cp = 2,167 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 221,2 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,25·(75/40)² = 7,91 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,25² − 7,91²)/1000 = −28,75 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−28,75) = 221,2 kPa

Відповідь

p₂ = 221,2 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 8,608 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(30000/1000 + 9,81·4,5)) = 12,18 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,0007069·12,18 = 0,008608 m³/s = 8,608 L/s

Відповідь

Q = 8,608 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 26,44 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,546²/(2·9,81) = 0,3305 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(800/0,2)·2,546²/(2·9,81) = 26,44 m

Відповідь

h_f = 26,44 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 2,068 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 10 = 11,7

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 26,4 + 11,7)·0,05288 = 2,068 m

Відповідь

H = 2,068 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 60,01 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·48 = 70,63 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 70,63/117,7 = 60,01%

Відповідь

η = 60,01%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 22,83 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0,05288 = 2,538 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 150000/(1000·9,81) = 15,29 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 5 + 15,29 + 2,538 = 22,83 m

Відповідь

H = 22,83 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics