Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 2,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 75 mm до 50 mm. У широкій частині тиск 100 kPa, а швидкість 3 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 100 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 40 mm і піднімається на 9 m. У перерізі 1 тиск 280 kPa, а швидкість 1,5 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 1,5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 120 L/s трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 120 L/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,025. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 150 L/s?

Q = 150 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 25 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 78 m, а його вал споживає 27,3 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 25 L/sH = 78 mP_shaft = 27,3 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 14 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 4 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 80 L/sΔz = 14 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,02ΣK = 4

H = m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 82,77 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 2,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 2,5·1,5 = 3,75 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·3,75 = 82,77 kN

Відповідь

F = 82,77 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 394 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·4,25·7,5 = 394 kN

Відповідь

F = 394 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 81,72 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/50)² = 6,75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6,75²)/1000 = −18,28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 100 + (−18,28) = 81,72 kPa

Відповідь

p₂ = 81,72 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 148,9 kPa

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1,5·(100/40)² = 9,375 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1,5² − 9,375²)/1000 = −42,82 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·9/1000 = 88,29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−42,82) − 88,29 = 148,9 kPa

Відповідь

p₂ = 148,9 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 10,97 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,25²/4 = 0,04909 m²

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,445²/(2·9,81) = 0,3046 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(500/0,25)·2,445²/(2·9,81) = 10,97 m

Відповідь

h_f = 10,97 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 17,94 m

Швидкість

V = Q/A = 0,15/0,04909 = 3,056 m/s

V²/(2g) = 0,4759 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·300/0,25 = 30

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 + 1,0 = 7,7

Сумарні втрати напору

h_f = 30·0,4759 = 14,28 m

h_m = 7,7·0,4759 = 3,665 m

Δz = h_f + h_m = 17,94 m

Відповідь

Δz = 17,94 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 70,07 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,025·78 = 19,13 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 19,13/27,3 = 70,07%

Відповідь

η = 70,07%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 20,28 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 4)·0,3305 = 6,28 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 14 + 6,28 = 20,28 m

Відповідь

H = 20,28 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics