Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (олія), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 3 mb = 1,5 mρ = 880 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Трубка Піто–Прандтля в аеродинамічній трубі показує різницю 1100 Pa між тиском гальмування і статичним тиском. Густина повітря 1,2 kg/m³. Знайдіть швидкість повітря v.

p₀ − p = 1100 Paρ = 1,2 kg/m³

v = m/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Шланг із внутрішнім діаметром 40 mm працює як сифон і відбирає воду з відкритого резервуара. Найвища точка шланга C на 3 m вище за поверхню води, а вихід (відкритий в атмосферу) на 1 m нижче за поверхню води. Нехтуйте втратами й прийміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q.

d = 40 mmz_C = +3 mz₂ = −1 mg = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 5 L/s трубою довжиною 1000 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 5 L/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0,018g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 200 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Поверхня води у верхньому резервуарі на 23 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 23 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 66 m. ККД насоса 60%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 95%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 80 L/sH = 66 mη_pump = 60%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 120 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 11 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 250 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 250 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 120 L/sΔz = 11 mL = 300 mD = 250 mmf = 0,022ΣK = 6p_tank = 250 kPa

H = m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 33,11 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·1,5 = 33,11 kN

Відповідь

F = 33,11 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 77,7 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1,5 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 880·9,81·2·4,5 = 77,7 kN

Відповідь

F = 77,7 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 42,82 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Рівняння Бернуллі до точки гальмування

Біля носика потік зупиняється, тож його кінетична енергія проявляється як додатковий тиск.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·1100/1,2) = 42,82 m/s

Відповідь

v = 42,82 m/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 5,566 L/s

Швидкість у шлангу

Поверхня і вихід відкриті в атмосферу, тож доданки тиску скорочуються.

v = √(2g·1) = √(2·9,81·1) = 4,429 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,001257·4,429 = 0,005566 m³/s = 5,566 L/s

Відповідь

Q = 5,566 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 15,67 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,075²/4 = 0,004418 m²

V = Q/A = 0,005/0,004418 = 1,132 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,132²/(2·9,81) = 0,06529 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,018·(1000/0,075)·1,132²/(2·9,81) = 15,67 m

Відповідь

h_f = 15,67 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 136,5 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·150/0,2 = 16,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

23 = (16,5 + 7,4)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·23/23,9) = 4,345 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 4,345·0,03142 = 0,1365 m³/s = 136,5 L/s

Відповідь

Q = 136,5 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 90,87 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,08·66 = 51,8 kW

Потужність на валу

P_shaft = 51,8/0,6 = 86,33 kW

Електрична потужність

P_el = 86,33/0,95 = 90,87 kW

Відповідь

P_el = 90,87 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 46,35 m

Швидкість

V = Q/A = 0,12/0,04909 = 2,445 m/s

V²/(2g) = 0,3046 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26,4 + 6)·0,3046 = 9,869 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9,81) = 25,48 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 25,48 + 9,869 = 46,35 m

Відповідь

H = 46,35 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics