Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече з витратою 33 L/s горизонтальною трубою, що звужується від 200 mm до 150 mm. Тиск у вузькій ділянці 250 kPa. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₁ у широкій ділянці.

Q = 33 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 150 mmp₂ = 250 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 170 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 50 mm, розташований на 3 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 170 kPa (надлишковий)h = 3 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,2 m/s горизонтальною трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 75 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,2 m/sL = 150 mD = 75 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,02. Поверхня води у верхньому резервуарі на 37 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 2) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 37 mL = 300 mD = 300 mmf = 0,02K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 20 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 40 m. ККД насоса 70%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 95%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 20 L/sH = 40 mη_pump = 70%η_motor = 95%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 7 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 3 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 150 mD = 150 mmf = 0,025ΣK = 3

H = m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 312,7 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 2,5/2 = 4,25 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4,25·7,5 = 312,7 kN

Відповідь

F = 312,7 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 26,4 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1 = 1,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,75·1,5 = 26,4 kN

Відповідь

F = 26,4 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₁ = 251,2 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкості

v₁ = Q/A₁ = 0,033/0,03142 = 1,05 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,033/0,01767 = 1,867 m/s

Бернуллі

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 250 + ½·1000·(1,867² − 1,05²)/1000 = 250 + 1,192 = 251,2 kPa

Відповідь

p₁ = 251,2 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 39,21 L/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(170000/1000 + 9,81·3)) = 19,97 m/s

Витрата

Q = A·v = 0,001963·19,97 = 0,03921 m³/s = 39,21 L/s

Відповідь

Q = 39,21 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 145,2 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,075)·2,2²/(2·9,81) = 14,8 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·14,8 = 145200 Pa = 145,2 kPa

Відповідь

Δp = 145,2 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 383,2 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,02·300/0,3 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 2 + 1,0 = 4,7

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

37 = (20 + 4,7)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·37/24,7) = 5,421 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 5,421·0,07069 = 0,3832 m³/s = 383,2 L/s

Відповідь

Q = 383,2 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 11,8 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,02·40 = 7,848 kW

Потужність на валу

P_shaft = 7,848/0,7 = 11,21 kW

Електрична потужність

P_el = 11,21/0,95 = 11,8 kW

Відповідь

P_el = 11,8 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 14,31 m

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (25 + 3)·0,2611 = 7,312 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 7 + 7,312 = 14,31 m

Відповідь

H = 14,31 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics