Механіка рідини: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2,5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 4 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече горизонтальною трубою, що звужується з 100 mm до 75 mm. У широкій частині тиск 170 kPa, а швидкість 2,75 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у вузькій частині.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 170 kPav₁ = 2,75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Вода піднімається трубою, що звужується з 100 mm до 40 mm і піднімається на 4 m. У перерізі 1 тиск 200 kPa, а швидкість 2 m/s. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₂ у перерізі 2.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 200 kPav₁ = 2 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,1 m/s горизонтальною трубою довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,1 m/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 200 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,018. Поверхня води у верхньому резервуарі на 5 m вища, ніж у нижньому. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 2 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть витрату Q у L/s.

Δz = 5 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1,0

Q = L/s

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 10 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 30 m, а його вал споживає 4,5 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 10 L/sH = 30 mP_shaft = 4,5 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 60 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 17 m вища. Труба довжиною 300 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 60 L/sΔz = 17 mL = 300 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 8

H = m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 117,7 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2,5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·4·3 = 117,7 kN

Відповідь

F = 117,7 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 301,7 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·5·6 = 301,7 kN

Відповідь

F = 301,7 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 161,8 kPa

Нерозривність і Бернуллі: для нестисливої рідини витрата однакова в кожному перерізі, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Уздовж лінії течії без втрат p + ½ρv² + ρgz стале, тож там, де рідина швидша або вища, тиск нижчий.

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2,75·(100/75)² = 4,889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2,75² − 4,889²)/1000 = −8,169 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 170 + (−8,169) = 161,8 kPa

Відповідь

p₂ = 161,8 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₂ = 84,63 kPa

Нерозривність і Бернуллі

Рахуйте в Pa, потім поділіть на 1000, щоб отримати kPa.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/40)² = 12,5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 12,5²)/1000 = −76,13 kPa

ρgΔz = 1000·9,81·4/1000 = 39,24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−76,13) − 39,24 = 84,63 kPa

Відповідь

p₂ = 84,63 kPa

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 35,28 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,02·(200/0,25)·2,1²/(2·9,81) = 3,596 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·3,596 = 35280 Pa = 35,28 kPa

Відповідь

Δp = 35,28 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Q = 53,29 L/s

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,018·300/0,2 = 27

ΣK = 0,5 + 2·0,3 + 5 + 1,0 = 7,1

Рівняння енергії

Обидві поверхні відкриті в атмосферу й практично нерухомі, тож усе Δz втрачається в трубі.

5 = (27 + 7,1)·V²/(2·9,81)

V = √(2·9,81·5/34,1) = 1,696 m/s

Витрата

Q = V·π·D²/4 = 1,696·0,03142 = 0,05329 m³/s = 53,29 L/s

Відповідь

Q = 53,29 L/s

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 65,4 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,01·30 = 2,943 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 2,943/4,5 = 65,4%

Відповідь

η = 65,4%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 23,51 m

Швидкість

V = Q/A = 0,06/0,03142 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (27 + 8)·0,1859 = 6,507 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 17 + 6,507 = 23,51 m

Відповідь

H = 23,51 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/fluid-mechanics