Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Пінополістирол, k = 0,035150 mmГіпсокартон, k = 0,1775 mm20 °C9 °CQ̇ = ?

Стіна складається з 150 mm шару (пінополістирол) і 75 mm шару (гіпсокартон), її площа 15 m². Зовнішні поверхні мають 20 °C і 9 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.

L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 20 °CT3 = 9 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04200 mmСкло, k = 0,9675 mmприміщення 20 °Cнадворі -11 °CQ̇

Стіна з 200 mm (мінеральна вата) і 75 mm (скло) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -11 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 4 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT100 °C10 °C85 °CΔT₁ΔT₂пара, що конденсується

У конденсаторі пара конденсується за сталої температури 100 °C на зовнішній поверхні труб. Охолоджувальна вода (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) тече трубами й нагрівається від 10 до 85 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Ts = 100 °Cṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 85 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT100 °C75 °C39,97 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 100 до 75 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 3 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 30 °C. При U = 1500 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 100 → 75 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 34,91 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·15) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 11/0,3151 = 34,91 W

Відповідь

Q̇ = 34,91 W
2.Теплопровідність

Відповідь: U = 0,1916 W/(m²·K)

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·4) = 1,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·4) = 0,01953 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 1,305 K/W

Коефіцієнт теплопередачі

U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·1,305) = 0,1916 W/(m²·K)

Відповідь

U = 0,1916 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 9,986 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Теплове навантаження з боку води

Q̇ = 2·4,18·(85 − 10) = 627 kW

Різниці температур на кінцях

ΔT₁ = 100 − 10 = 90 K
ΔT₂ = 100 − 85 = 15 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 15)/ln(90/15) = 41,86 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 627000/(1500·41,86) = 9,986 m²

Відповідь

A = 9,986 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 1,598 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·25 = 125 kW
Tc,out = 30 + 125/(3·4,18) = 39,97 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 39,97 = 60,03 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 30 = 45 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60,03 − 45)/ln(60,03/45) = 52,16 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125000/(1500·52,16) = 1,598 m²

Відповідь

A = 1,598 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer