Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Скло, k = 0,96250 mmЦегла, k = 0,7250 mm19 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 250 mm шару (скло) і 50 mm шару (цегла), її площа 10 m². Зовнішні поверхні мають 19 °C і -1 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 250 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 19 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Бетон, k = 1,4150 mmПінополістирол, k = 0,035100 mmприміщення 22 °Cнадворі -14 °CQ̇ = ?

Стіна з 150 mm (бетон) і 100 mm (пінополістирол) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -14 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 8 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 20 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -14 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT180 °C130 °C60 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 200 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 180 до 130 °C, а холодний нагрівається з 30 до 60 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1000 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 200 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 180 → 130 °CTc: 30 → 60 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT100 °C55 °C17,54 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 100 до 55 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 3 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 100 → 55 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 3,211 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,96·10) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·10) = 0,006944 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,03299 = 606,3 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 606,3·0,02604 = 3,211 °C

Відповідь

Ti = 3,211 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 230,1 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·20) = 0,00625 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·20) = 0,005357 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·20) = 0,1429 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,1565 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (22 − (-14))/0,1565 = 230,1 W

Відповідь

Q̇ = 230,1 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 1,823 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 60 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 130 − 30 = 100 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 100)/ln(120/100) = 109,7 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 200000/(1000·109,7) = 1,823 m²

Відповідь

A = 1,823 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 7,639 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·45 = 94,5 kW
Tc,out = 10 + 94,5/(3·4,18) = 17,54 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 17,54 = 82,46 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 10 = 45 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (82,46 − 45)/ln(82,46/45) = 61,85 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 94500/(200·61,85) = 7,639 m²

Відповідь

A = 7,639 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer