Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Бетон, k = 1,4150 mmПінополістирол, k = 0,03575 mm18 °C-1 °CQ̇ = ?

Стіна складається з 150 mm шару (бетон) і 75 mm шару (пінополістирол), її площа 4 m². Зовнішні поверхні мають 18 °C і -1 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 18 °CT3 = -1 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Бетон, k = 1,4200 mmЦегла, k = 0,7250 mmприміщення 21 °Cнадворі -15 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 200 mm (бетон) і 50 mm (цегла) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -15 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 4 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -15 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT145 °C125 °C25 °C60 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 60 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 145 до 125 °C, а холодний нагрівається з 25 до 60 °C. Коефіцієнт теплопередачі 500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 60 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 145 → 125 °CTc: 25 → 60 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT175 °C110 °C45,92 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 175 до 110 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 20 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 175 → 110 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 33,78 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·4) = 0,02679 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·4) = 0,5357 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,5625 = 33,78 W

Відповідь

Q̇ = 33,78 W
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 8,766 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·4) = 0,03571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·4) = 0,01736 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·4) = 0,01 K/W
ΣR = 0,09554 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (-15))/0,09554 = 376,8 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 376,8·0,03247 = 8,766 °C

Відповідь

Ts = 8,766 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 1,338 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 145 − 25 = 120 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 125 − 60 = 65 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 65)/ln(120/65) = 89,71 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 60000/(500·89,71) = 1,338 m²

Відповідь

A = 1,338 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 7,498 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·65 = 162,5 kW
Tc,out = 20 + 162,5/(1,5·4,18) = 45,92 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 45,92 = 129,1 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 20 = 90 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (129,1 − 90)/ln(129,1/90) = 108,4 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 162500/(200·108,4) = 7,498 m²

Відповідь

A = 7,498 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer