Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Цегла, k = 0,72150 mmСкло, k = 0,96100 mm19 °C-12 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 150 mm шару (цегла) і 100 mm шару (скло), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 19 °C і -12 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 19 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Скло, k = 0,96100 mmПінополістирол, k = 0,03525 mmприміщення 20 °Cнадворі -7 °CQ̇ = ?

Стіна з 100 mm (скло) і 25 mm (пінополістирол) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -7 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 15 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -7 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT165 °C100 °C30 °C80 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 400 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 165 до 100 °C, а холодний нагрівається з 30 до 80 °C. Коефіцієнт теплопередачі 500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 400 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 165 → 100 °CTc: 30 → 80 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT105 °C60 °C60,89 °C25 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 105 до 60 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 25 °C. При U = 1000 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 105 → 60 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = −1,667 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·12) = 0,01736 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·12) = 0,008681 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,02604 = 1190 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 1190·0,01736 = −1,667 °C

Відповідь

Ti = −1,667 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 405,7 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·15) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·15) = 0,04762 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,06655 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (-7))/0,06655 = 405,7 W

Відповідь

Q̇ = 405,7 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 13,28 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 165 − 30 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 100 − 80 = 20 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 20)/ln(135/20) = 60,22 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 400000/(500·60,22) = 13,28 m²

Відповідь

A = 13,28 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 5,713 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·45 = 225 kW
Tc,out = 25 + 225/(1,5·4,18) = 60,89 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 60,89 = 44,11 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (44,11 − 35)/ln(44,11/35) = 39,38 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 225000/(1000·39,38) = 5,713 m²

Відповідь

A = 5,713 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer