Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Мінеральна вата, k = 0,04200 mmГіпсокартон, k = 0,1775 mm22 °C-12 °CQ̇ = ?

Стіна складається з 200 mm шару (мінеральна вата) і 75 mm шару (гіпсокартон), її площа 15 m². Зовнішні поверхні мають 22 °C і -12 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 22 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Бетон, k = 1,4100 mmМінеральна вата, k = 0,0475 mmприміщення 20 °Cнадворі -15 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 100 mm (бетон) і 75 mm (мінеральна вата) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -15 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 10 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -15 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT170 °C80 °C115 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 380 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 170 до 80 °C, а холодний нагрівається з 20 до 115 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 380 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 170 → 80 °CTc: 20 → 115 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT130 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂пара, що конденсується

Пара конденсується за сталої температури 130 °C на зовнішній поверхні труб конденсатора з площею теплообміну 2 m² і U = 3000 W/(m²·K). Охолоджувальна вода (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входить у труби при 25 °C. Знайдіть температуру води на виході Tc,out.

Ts = 130 °CA = 2 m²U = 3000 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 93,73 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·15) = 0,3333 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 34/0,3627 = 93,73 W

Відповідь

Q̇ = 93,73 W
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 17,29 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·10) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·10) = 0,1875 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,2153 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (-15))/0,2153 = 162,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 162,6·0,01667 = 17,29 °C

Відповідь

Ts = 17,29 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 4,409 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 115 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 20 = 60 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 60)/ln(55/60) = 57,46 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 380000/(1500·57,46) = 4,409 m²

Відповідь

A = 4,409 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: Tc,out = 89,67 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Поєднайте енергетичний баланс і рівняння теплопередачі

Якщо ΔT₁ = Ts − Tc,in і ΔT₂ = Ts − Tc,out, різниця ΔT₁ − ΔT₂ дорівнює підвищенню температури води, тож воно скорочується.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 3000·2/(1,5·4180) = 0,9569

Температура на виході

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,9569 = 105·0,3841 = 40,33 K
Tc,out = 130 − 40,33 = 89,67 °C

Відповідь

Tc,out = 89,67 °C

Передана теплота: Q̇ = 405,5 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer