Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Мінеральна вата, k = 0,04100 mmСкло, k = 0,9675 mm18 °C10 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (мінеральна вата) і 75 mm шару (скло), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 18 °C і 10 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 18 °CT3 = 10 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04100 mmСкло, k = 0,9675 mmприміщення 21 °Cнадворі -9 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 100 mm (мінеральна вата) і 75 mm (скло) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -9 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -9 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT105 °C30 °C75 °CΔT₁ΔT₂пара, що конденсується

У конденсаторі пара конденсується за сталої температури 105 °C на зовнішній поверхні труб. Охолоджувальна вода (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) тече трубами й нагрівається від 30 до 75 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Ts = 105 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 75 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT80 °C60 °C26,99 °C25 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 80 до 60 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 3 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 25 °C. При U = 300 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 80 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 10,24 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·12) = 0,2083 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·12) = 0,00651 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 8/0,2148 = 37,24 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 37,24·0,2083 = 10,24 °C

Відповідь

Ti = 10,24 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 19,58 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·8) = 0,3125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·8) = 0,009766 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,3427 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (-9))/0,3427 = 87,55 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 87,55·0,01623 = 19,58 °C

Відповідь

Ts = 19,58 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 12,77 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Теплове навантаження з боку води

Q̇ = 5·4,18·(75 − 30) = 940,5 kW

Різниці температур на кінцях

ΔT₁ = 105 − 30 = 75 K
ΔT₂ = 105 − 75 = 30 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (75 − 30)/ln(75/30) = 49,11 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 940500/(1500·49,11) = 12,77 m²

Відповідь

A = 12,77 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 1,921 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·20 = 25 kW
Tc,out = 25 + 25/(3·4,18) = 26,99 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 26,99 = 53,01 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (53,01 − 35)/ln(53,01/35) = 43,38 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 25000/(300·43,38) = 1,921 m²

Відповідь

A = 1,921 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer