Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Цегла, k = 0,72100 mmСкло, k = 0,96100 mm15 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (цегла) і 100 mm шару (скло), її площа 20 m². Зовнішні поверхні мають 15 °C і -8 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 15 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Бетон, k = 1,4100 mmГіпсокартон, k = 0,1750 mmприміщення 20 °Cнадворі -3 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 100 mm (бетон) і 50 mm (гіпсокартон) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -3 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT130 °C55 °C70 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 390 kW. Його площа теплообміну 4 m². Гарячий теплоносій охолоджується від 130 до 55 °C, а холодний нагрівається від 20 до 70 °C. Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U.

Q̇ = 390 kWA = 4 m²Th: 130 → 55 °CTc: 20 → 70 °C
U = W/(m²·K)
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT80 °C30 °C35,12 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 80 до 30 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 2 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 300 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 80 → 30 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 1,857 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·20) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·20) = 0,005208 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,01215 = 1893 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 1893·0,006944 = 1,857 °C

Відповідь

Ti = 1,857 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 14,35 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·8) = 0,008929 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,06609 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (-3))/0,06609 = 348 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 348·0,01623 = 14,35 °C

Відповідь

Ts = 14,35 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: U = 2102 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 70 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 35)/ln(60/35) = 46,38 K

Коефіцієнт теплопередачі

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 390000/(4·46,38) = 2102 W/(m²·K)

Відповідь

U = 2102 W/(m²·K)
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 22,74 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,1·50 = 210 kW
Tc,out = 10 + 210/(2·4,18) = 35,12 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 35,12 = 44,88 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 10 = 20 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (44,88 − 20)/ln(44,88/20) = 30,78 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 210000/(300·30,78) = 22,74 m²

Відповідь

A = 22,74 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer