Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Деревина, k = 0,1750 mmМінеральна вата, k = 0,04100 mm25 °C-12 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 50 mm шару (деревина) і 100 mm шару (мінеральна вата), її площа 15 m². Зовнішні поверхні мають 25 °C і -12 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 25 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Бетон, k = 1,4250 mmСкло, k = 0,9650 mmприміщення 22 °Cнадворі -1 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 250 mm (бетон) і 50 mm (скло) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -1 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 6 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 250 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 6 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -1 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT130 °C55 °C85 °C25 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Кожухотрубний теплообмінник (один хід у міжтрубному просторі, два ходи в трубах) має передавати 740 kW. Гарячий теплоносій охолоджується від 130 до 55 °C, а холодний нагрівається від 25 до 85 °C. Поправковий коефіцієнт до LMTD для цієї схеми F = 0,85, а U = 300 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 740 kWF = 0,85U = 300 W/(m²·K)Th: 130 → 55 °CTc: 25 → 85 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT170 °C100 °C19,63 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) охолоджується з 170 до 100 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 2 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 300 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 170 → 100 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 21,11 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 37/0,1863 = 198,6 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 198,6·0,01961 = 21,11 °C

Відповідь

Ti = 21,11 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 13,1 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·6) = 0,02778 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(1,4·6) = 0,02976 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,07178 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (22 − (-1))/0,07178 = 320,4 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 320,4·0,02778 = 13,1 °C

Відповідь

Ts = 13,1 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 78,44 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях (протитечія)

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 85 = 45 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 25 = 30 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (45 − 30)/ln(45/30) = 36,99 K

Площа

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 740000/(300·0,85·36,99) = 78,44 m²

Відповідь

A = 78,44 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,281 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,3·70 = 80,5 kW
Tc,out = 10 + 80,5/(2·4,18) = 19,63 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 170 − 19,63 = 150,4 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 10 = 90 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (150,4 − 90)/ln(150,4/90) = 117,6 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 80500/(300·117,6) = 2,281 m²

Відповідь

A = 2,281 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer