Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Гіпсокартон, k = 0,17100 mmДеревина, k = 0,17150 mm24 °C-1 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (гіпсокартон) і 150 mm шару (деревина), її площа 8 m². Зовнішні поверхні мають 24 °C і -1 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 24 °CT3 = -1 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Цегла, k = 0,72250 mmБетон, k = 1,4100 mmприміщення 22 °Cнадворі -9 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 250 mm (цегла) і 100 mm (бетон) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -9 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 4 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -9 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT175 °C105 °C145 °C15 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 150 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 175 до 105 °C, а холодний нагрівається з 15 до 145 °C. Коефіцієнт теплопередачі 300 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 150 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 175 → 105 °CTc: 15 → 145 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT145 °C80 °C?20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

У протитечійному теплообміннику «труба в трубі» гаряча олива (0,8 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) тече внутрішньою трубою й охолоджується від 145 до 80 °C. Вода (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) у кільцевому каналі входить при 20 °C. Внутрішня труба має діаметр 25 mm, і U = 200 W/(m²·K) віднесено до цього діаметра. Знайдіть потрібну довжину труби L.

ṁh = 0,8 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 145 → 80 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 20 °CD = 25 mmU = 200 W/(m²·K)
L = m

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 14 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,1838 = 136 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 136·0,07353 = 14 °C

Відповідь

Ti = 14 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 16,55 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·4) = 0,08681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,1422 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (22 − (-9))/0,1422 = 218,1 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 218,1·0,025 = 16,55 °C

Відповідь

Ts = 16,55 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 9,155 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 145 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 105 − 15 = 90 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 90)/ln(30/90) = 54,61 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 150000/(300·54,61) = 9,155 m²

Відповідь

A = 9,155 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: L = 119,3 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = 0,8·2,3·(145 − 80) = 119,6 kW
Tc,out = 20 + 119,6/(0,5·4,18) = 77,22 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 77,22 = 67,78 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 20 = 60 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (67,78 − 60)/ln(67,78/60) = 63,81 K

Площа й довжина

A = 119600/(200·63,81) = 9,372 m²
L = A/(πD) = 9,372/(π·0,025) = 119,3 m

Відповідь

L = 119,3 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer