Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Мінеральна вата, k = 0,04200 mmБетон, k = 1,4100 mm20 °C-15 °CQ̇ = ?

Стіна складається з 200 mm шару (мінеральна вата) і 100 mm шару (бетон), її площа 4 m². Зовнішні поверхні мають 20 °C і -15 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 20 °CT3 = -15 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Гіпсокартон, k = 0,17100 mmСкло, k = 0,9625 mmприміщення 20 °Cнадворі -3 °CQ̇

Стіна з 100 mm (гіпсокартон) і 25 mm (скло) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -3 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 10 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT130 °C60 °C105 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 450 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 130 до 60 °C, а холодний нагрівається з 10 до 105 °C. Коефіцієнт теплопередачі 500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 450 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 130 → 60 °CTc: 10 → 105 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT95 °C65 °C18,97 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 95 до 65 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 2 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 1000 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 65 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 27,61 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·4) = 1,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 35/1,268 = 27,61 W

Відповідь

Q̇ = 27,61 W
2.Теплопровідність

Відповідь: U = 1,228 W/(m²·K)

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·10) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·10) = 0,002604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·10) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,08143 K/W

Коефіцієнт теплопередачі

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,08143) = 1,228 W/(m²·K)

Відповідь

U = 1,228 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 24,95 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 105 = 25 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (25 − 50)/ln(25/50) = 36,07 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(500·36,07) = 24,95 m²

Відповідь

A = 24,95 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 1,155 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,5·30 = 75 kW
Tc,out = 10 + 75/(2·4,18) = 18,97 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 18,97 = 76,03 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 10 = 55 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (76,03 − 55)/ln(76,03/55) = 64,95 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 75000/(1000·64,95) = 1,155 m²

Відповідь

A = 1,155 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer