Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Мінеральна вата, k = 0,04150 mmЦегла, k = 0,7275 mm18 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 150 mm шару (мінеральна вата) і 75 mm шару (цегла), її площа 20 m². Зовнішні поверхні мають 18 °C і -8 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 18 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Гіпсокартон, k = 0,17200 mmСкло, k = 0,96100 mmприміщення 21 °Cнадворі -11 °CQ̇

Стіна з 200 mm (гіпсокартон) і 100 mm (скло) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -11 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 10 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -11 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT80 °C55 °C20 °C35 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 180 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 80 до 55 °C, а холодний нагрівається з 20 до 35 °C. Коефіцієнт теплопередачі 200 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 180 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 80 → 55 °CTc: 20 → 35 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT140 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂пара, що конденсується

Пара конденсується за сталої температури 140 °C на зовнішній поверхні труб конденсатора з площею теплообміну 3 m² і U = 1000 W/(m²·K). Охолоджувальна вода (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входить у труби при 25 °C. Знайдіть температуру води на виході Tc,out.

Ts = 140 °CA = 3 m²U = 1000 W/(m²·K)ṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = −7,297 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·20) = 0,1875 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·20) = 0,005208 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,1927 = 134,9 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 134,9·0,1875 = −7,297 °C

Відповідь

Ti = −7,297 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: U = 0,7039 W/(m²·K)

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·10) = 0,01 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·10) = 0,1176 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·10) = 0,01042 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,1421 K/W

Коефіцієнт теплопередачі

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,1421) = 0,7039 W/(m²·K)

Відповідь

U = 0,7039 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 24,72 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 80 − 20 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 55 − 35 = 20 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 20)/ln(60/20) = 36,41 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 180000/(200·36,41) = 24,72 m²

Відповідь

A = 24,72 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: Tc,out = 112,6 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Поєднайте енергетичний баланс і рівняння теплопередачі

Якщо ΔT₁ = Ts − Tc,in і ΔT₂ = Ts − Tc,out, різниця ΔT₁ − ΔT₂ дорівнює підвищенню температури води, тож воно скорочується.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1000·3/(0,5·4180) = 1,435

Температура на виході

ΔT₂ = ΔT₁·e−1,435 = 115·0,238 = 27,37 K
Tc,out = 140 − 27,37 = 112,6 °C

Відповідь

Tc,out = 112,6 °C

Передана теплота: Q̇ = 183,1 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer