Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Бетон, k = 1,4100 mmЦегла, k = 0,72150 mm19 °C4 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (бетон) і 150 mm шару (цегла), її площа 15 m². Зовнішні поверхні мають 19 °C і 4 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 19 °CT3 = 4 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04150 mmГіпсокартон, k = 0,17100 mmприміщення 20 °Cнадворі -4 °CQ̇ = ?

Стіна з 150 mm (мінеральна вата) і 100 mm (гіпсокартон) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -4 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 15 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -4 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT80 °C45 °C50 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Кожухотрубний теплообмінник (один хід у міжтрубному просторі, два ходи в трубах) має передавати 430 kW. Гарячий теплоносій охолоджується від 80 до 45 °C, а холодний нагрівається від 20 до 50 °C. Поправковий коефіцієнт до LMTD для цієї схеми F = 0,9, а U = 300 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 430 kWF = 0,9U = 300 W/(m²·K)Th: 80 → 45 °CTc: 20 → 50 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT100 °C65 °C19,4 °C15 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 100 до 65 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 2 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 15 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 100 → 65 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 15,17 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·15) = 0,004762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·15) = 0,01389 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,01865 = 804,3 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 804,3·0,004762 = 15,17 °C

Відповідь

Ti = 15,17 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 79,97 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·15) = 0,008658 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·15) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·15) = 0,03922 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,3001 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (-4))/0,3001 = 79,97 W

Відповідь

Q̇ = 79,97 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 58,07 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях (протитечія)

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 80 − 50 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 20 = 25 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 25)/ln(30/25) = 27,42 K

Площа

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 430000/(300·0,9·27,42) = 58,07 m²

Відповідь

A = 58,07 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,867 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·35 = 36,75 kW
Tc,out = 15 + 36,75/(2·4,18) = 19,4 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 19,4 = 80,6 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 15 = 50 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80,6 − 50)/ln(80,6/50) = 64,09 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 36750/(200·64,09) = 2,867 m²

Відповідь

A = 2,867 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer