Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Цегла, k = 0,72200 mmСкло, k = 0,96150 mm15 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 200 mm шару (цегла) і 150 mm шару (скло), її площа 15 m². Зовнішні поверхні мають 15 °C і -8 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 15 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Пінополістирол, k = 0,03550 mmМінеральна вата, k = 0,0475 mmприміщення 20 °Cнадворі 2 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 50 mm (пінополістирол) і 75 mm (мінеральна вата) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при 2 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 6 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 6 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 2 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT140 °C95 °C80 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Кожухотрубний теплообмінник (один хід у міжтрубному просторі, два ходи в трубах) має передавати 450 kW. Гарячий теплоносій охолоджується від 140 до 95 °C, а холодний нагрівається від 30 до 80 °C. Поправковий коефіцієнт до LMTD для цієї схеми F = 0,85, а U = 800 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 450 kWF = 0,85U = 800 W/(m²·K)Th: 140 → 95 °CTc: 30 → 80 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT85 °C65 °C32,97 °C25 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 85 до 65 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 3 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 25 °C. При U = 500 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 85 → 65 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 0,28 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·15) = 0,01852 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·15) = 0,01042 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,02894 = 794,9 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 794,9·0,01852 = 0,28 °C

Відповідь

Ti = 0,28 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 19,33 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·6) = 0,02165 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·6) = 0,2381 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·6) = 0,3125 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,5789 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (2))/0,5789 = 31,09 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 31,09·0,02165 = 19,33 °C

Відповідь

Ts = 19,33 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 10,59 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях (протитечія)

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 80 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 95 − 30 = 65 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 65)/ln(60/65) = 62,47 K

Площа

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 450000/(800·0,85·62,47) = 10,59 m²

Відповідь

A = 10,59 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 4,372 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,5·20 = 100 kW
Tc,out = 25 + 100/(3·4,18) = 32,97 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 32,97 = 52,03 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 25 = 40 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (52,03 − 40)/ln(52,03/40) = 45,75 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 100000/(500·45,75) = 4,372 m²

Відповідь

A = 4,372 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer