Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 2 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 150 mm і діаметром горловини 75 mm. Тиск на вході на 48 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 48 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Сопло фонтана спрямоване вертикально вгору. Безпосередньо під соплом підвідна труба має діаметр 100 mm і надлишковий тиск 120 kPa. Діаметр вихідного отвору сопла 30 mm, різницею висот у межах сопла можна знехтувати. Нехтуючи втратами й опором повітря, знайдіть висоту H, на яку струмінь піднімається над соплом. Прийміть g = 9,81 m/s².

d₁ = 100 mmp₁ = 120 kPa (надлишковий)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

H = m

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече з витратою 25 L/s трубою довжиною 50 m з внутрішнім діаметром 200 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

Q = 25 L/sL = 50 mD = 200 mmf = 0,03g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 100 m з внутрішнім діаметром 200 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 5). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 75 L/s?

Q = 75 L/sL = 100 mD = 200 mmf = 0,015K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Під час випробування насос подає 150 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 62 m, а його вал споживає 126,7 kW. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть ККД насоса η у відсотках.

Q = 150 L/sH = 62 mP_shaft = 126,7 kWg = 9,81 m/s²

η = %

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 11 m вища. Труба довжиною 100 m має внутрішній діаметр 100 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,02; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 85%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 15 L/sΔz = 11 mL = 100 mD = 100 mmf = 0,02ΣK = 8η = 85%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (гравій) має ширину по дну 3,5 m і закладання укосів 3:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,2 m. n Маннінга = 0,025, ухил дна S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3,5 my = 1,2 mz = 3n = 0,025S = 0,005

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (цегляна кладка) шириною 5 m має пропускати 14 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,5 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 14 m³/sb = 5 my = 1,5 mn = 0,015

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 58,86 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·2 = 58,86 kN

Відповідь

F = 58,86 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 264,9 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3·9 = 264,9 kN

Відповідь

F = 264,9 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 44,71 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(75/150)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·48000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,12 m/s

v₁ = 2,53 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,004418·10,12 = 0,04471 m³/s = 44,71 L/s

Відповідь

Q = 44,71 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: H = 12,33 m

Швидкість на виході

β = 30/100 = 0,3

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·120000/(1000·0,9919)) = 15,56 m/s

Висота струменя

Рівняння Бернуллі вздовж струменя: у верхній точці швидкість дорівнює нулю, а тиск знову атмосферний.

H = v₂²/(2g) = 15,56²/(2·9,81) = 12,33 m

Відповідь

H = 12,33 m

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 0,2421 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Середня швидкість

A = π·0,2²/4 = 0,03142 m²

V = Q/A = 0,025/0,03142 = 0,7958 m/s

Швидкісний напір

V²/(2g) = 0,7958²/(2·9,81) = 0,03228 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(50/0,2)·0,7958²/(2·9,81) = 0,2421 m

Відповідь

h_f = 0,2421 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 4,328 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,015·100/0,2 = 7,5

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 = 6,4

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 7,5 + 6,4)·0,2905 = 4,328 m

Відповідь

H = 4,328 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: η = 72,01 %

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,15·62 = 91,23 kW

ККД

η = P_h/P_shaft = 91,23/126,7 = 72,01%

Відповідь

η = 72,01%

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 2,805 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,015/0,007854 = 1,91 m/s

V²/(2g) = 0,1859 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0,1859 = 5,205 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 11 + 5,205 = 16,21 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,015·16,21/0,85 = 2,805 kW

Відповідь

P_shaft = 2,805 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 20,21 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 3·1,2)·1,2 = 8,52 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,2·√(1 + 3²) = 11,09 m

R = A/P = 0,7683 m

Швидкість

V = (1/0,025)·0,7683^2/3·0,005^1/2 = 2,373 m/s

Витрата

Q = A·V = 8,52·2,373 = 20,21 m³/s

Відповідь

Q = 20,21 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0008545 m/m

Геометрія

A = b·y = 5·1,5 = 7,5 m²

P = b + 2y = 5 + 2·1,5 = 8 m

R = A/P = 0,9375 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·14/(7,5·0,9579) = 0,02923

S = 0,02923² = 0,0008545

Відповідь

S = 0,0008545

Це зниження на 0,8545 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering