Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1,5 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1 mH = 1,5 mb = 1,5 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (гліцерин), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 0,5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 80 mm і діаметром горловини 40 mm. Тиск на вході на 54 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₁ − p₂ = 54 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 140 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 25 mm, розташований на 1 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть швидкість струменя v. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 140 kPa (надлишковий)h = 1 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода (ρ = 1000 kg/m³) тече зі швидкістю 2,5 m/s горизонтальною трубою довжиною 150 m з внутрішнім діаметром 50 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,03 і g = 9,81 m/s². Знайдіть перепад тиску Δp у трубі в kPa.

V = 2,5 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0,03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Два відкриті резервуари з’єднані трубою довжиною 400 m з внутрішнім діаметром 300 mm і коефіцієнтом тертя Дарсі f = 0,022. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне), засувка (K = 5) і вихід у нижній резервуар (K = 1,0). Візьміть g = 9,81 m/s². Яка різниця рівнів води Δz між резервуарами дає витрату 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1,0

Δz = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 20 m. ККД насоса 78%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 90%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 40 L/sH = 20 mη_pump = 78%η_motor = 90%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 80 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 19 m вища. Труба довжиною 150 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,018; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 5 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². ККД насоса 75%. Знайдіть потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 80 L/sΔz = 19 mL = 150 mD = 200 mmf = 0,018ΣK = 5η = 75%

P_shaft = kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (ґрунт, укріплений травою) має ширину по дну 3 m і закладання укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1,6 m. n Маннінга = 0,03, ухил дна S = 0,0015. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 3 my = 1,6 mz = 2n = 0,03S = 0,0015

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Трапецієподібний канал (гравій) з шириною по дну 3,5 m і закладанням укосів 2:1 (горизонталь:вертикаль) має пропускати 35 m³/s при рівномірній течії з глибиною 1,8 m. n Маннінга = 0,025. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 35 m³/sb = 3,5 my = 1,8 mz = 2n = 0,025

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 38,63 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1 + 1,5/2 = 1,75 m

A = H·b = 1,5·1,5 = 2,25 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·1,75·2,25 = 38,63 kN

Відповідь

F = 38,63 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,375 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9,81·2·9 = 222,5 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6,75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 6,75/(2·9) = 2,375 m

Відповідь

y_cp = 2,375 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 13,49 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(40/80)² = 0,25·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·54000/(1000·(1 − 0,0625))) = 10,73 m/s

v₁ = 2,683 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,001257·10,73 = 0,01349 m³/s = 13,49 L/s

Відповідь

Q = 13,49 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 17,31 m/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(140000/1000 + 9,81·1)) = 17,31 m/s

Відповідь

v = 17,31 m/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δp = 281,2 kPa

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Втрати напору

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,03·(150/0,05)·2,5²/(2·9,81) = 28,67 m

Перепад тиску

Труба горизонтальна, а швидкість не змінюється, тож рівняння енергії зводиться до Δp = ρ·g·h_f.

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9,81·28,67 = 281250 Pa = 281,2 kPa

Відповідь

Δp = 281,2 kPa

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: Δz = 2,398 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,07069 = 1,132 m/s

V²/(2g) = 0,06529 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·400/0,3 = 29,33

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 5 + 1,0 = 7,4

Сумарні втрати напору

h_f = 29,33·0,06529 = 1,915 m

h_m = 7,4·0,06529 = 0,4831 m

Δz = h_f + h_m = 2,398 m

Відповідь

Δz = 2,398 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 11,18 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,04·20 = 7,848 kW

Потужність на валу

P_shaft = 7,848/0,78 = 10,06 kW

Електрична потужність

P_el = 10,06/0,9 = 11,18 kW

Відповідь

P_el = 11,18 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 26,28 kW

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,03142 = 2,546 m/s

V²/(2g) = 0,3305 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (13,5 + 5)·0,3305 = 6,114 m

Напір насоса

H = Δz + h_L = 19 + 6,114 = 25,11 m

Потужність на валу

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9,81·0,08·25,11/0,75 = 26,28 kW

Відповідь

P_shaft = 26,28 kW

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 12,61 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·1,6)·1,6 = 9,92 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1,6·√(1 + 2²) = 10,16 m

R = A/P = 0,9768 m

Швидкість

V = (1/0,03)·0,9768^2/3·0,0015^1/2 = 1,271 m/s

Витрата

Q = A·V = 9,92·1,271 = 12,61 m³/s

Відповідь

Q = 12,61 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,004096 m/m

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (3,5 + 2·1,8)·1,8 = 12,78 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3,5 + 2·1,8·√(1 + 2²) = 11,55 m

R = A/P = 1,107 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,025·35/(12,78·1,07) = 0,064

S = 0,064² = 0,004096

Відповідь

S = 0,004096

Це зниження на 4,096 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering