Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 2 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 3 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть глибину y_cp центра тиску під поверхнею.

d = 1,5 mH = 1,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

y_cp = m

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече з витратою 10 L/s горизонтальною трубою, що звужується від 80 mm до 40 mm. Тиск у вузькій ділянці 170 kPa. Нехтуючи втратами, знайдіть тиск p₁ у широкій ділянці.

Q = 10 L/sd₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₂ = 170 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

4.Нерозривність і БернулліСкладна

У закритому резервуарі над водою стиснене повітря з надлишковим тиском 80 kPa. Вода витікає в атмосферу через отвір діаметром 40 mm, розташований на 2 m нижче за поверхню води. Нехтуючи втратами, знайдіть швидкість струменя v. Візьміть g = 9,81 m/s².

p_air = 80 kPa (надлишковий)h = 2 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

v = m/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 2,5 m/s трубою довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 50 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,028 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 2,5 m/sL = 300 mD = 50 mmf = 0,028g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 200 m з внутрішнім діаметром 250 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 4 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 5). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 80 L/s?

Q = 80 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0,025K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×4)K_valve = 5

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос з ККД 85% подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 26 m. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть потрібну потужність на валу P_shaft у kW.

Q = 15 L/sH = 26 mη = 85%g = 9,81 m/s²

P_shaft = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 75 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 17 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 200 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 8 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Верхній бак закритий, а повітря над водою в ньому має надлишковий тиск 100 kPa. Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 75 L/sΔz = 17 mL = 200 mD = 200 mmf = 0,022ΣK = 8p_tank = 100 kPa

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Трапецієподібний канал (оброблений бетон) має ширину по дну 6 m і закладання укосів 1:1 (горизонталь:вертикаль). Вода тече рівномірно з глибиною 1 m. n Маннінга = 0,012, ухил дна S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 6 my = 1 mz = 1n = 0,012S = 0,005

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Бетонний колектор з внутрішнім діаметром 300 mm (n Маннінга = 0,013) має забезпечити самоочисну швидкість 0,6 m/s при повному заповненні. Знайдіть мінімальний ухил S (у m/m).

D = 300 mmn = 0,013V = 0,6 m/s

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 68,67 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3,5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·3,5·2 = 68,67 kN

Відповідь

F = 68,67 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: y_cp = 2,333 m

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 1,5/2 = 2,25 m

A = H·b = 1,5·3 = 4,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,25·4,5 = 99,33 kN

Центр тиску

Тиск зростає з глибиною, тож рівнодійна діє нижче центра ваги.

I_c = b·H³/12 = 3·1,5³/12 = 0,8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2,25 + 0,8438/(2,25·4,5) = 2,333 m

Відповідь

y_cp = 2,333 m

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: p₁ = 199,7 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Швидкості

v₁ = Q/A₁ = 0,01/0,005027 = 1,989 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0,01/0,001257 = 7,958 m/s

Бернуллі

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 170 + ½·1000·(7,958² − 1,989²)/1000 = 170 + 29,68 = 199,7 kPa

Відповідь

p₁ = 199,7 kPa

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: v = 14,12 m/s

Рівняння Бернуллі від поверхні до струменя

v = √(2·(80000/1000 + 9,81·2)) = 14,12 m/s

Відповідь

v = 14,12 m/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 53,52 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 2,5²/(2·9,81) = 0,3186 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,028·(300/0,05)·2,5²/(2·9,81) = 53,52 m

Відповідь

h_f = 53,52 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 3,75 m

Швидкість

V = Q/A = 0,08/0,04909 = 1,63 m/s

V²/(2g) = 0,1354 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,025·200/0,25 = 20

ΣK = 0,5 + 4·0,3 + 5 = 6,7

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 20 + 6,7)·0,1354 = 3,75 m

Відповідь

H = 3,75 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_shaft = 4,501 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·26 = 3,826 kW

Потужність на валу

P_shaft = P_h/η = 3,826/0,85 = 4,501 kW

Відповідь

P_shaft = 4,501 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 35,91 m

Швидкість

V = Q/A = 0,075/0,03142 = 2,387 m/s

V²/(2g) = 0,2905 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 8)·0,2905 = 8,715 m

П’єзометричний напір

p/(ρ·g) = 100000/(1000·9,81) = 10,19 m

Напір насоса

Обидві поверхні практично нерухомі, тож члена зі швидкісним напором немає.

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 17 + 10,19 + 8,715 = 35,91 m

Відповідь

H = 35,91 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 35,34 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = (b + z·y)·y = (6 + 1·1)·1 = 7 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·1·√(1 + 1²) = 8,828 m

R = A/P = 0,7929 m

Швидкість

V = (1/0,012)·0,7929^2/3·0,005^1/2 = 5,048 m/s

Витрата

Q = A·V = 7·5,048 = 35,34 m³/s

Відповідь

Q = 35,34 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,001924 m/m

Гідравлічний радіус

R = D/4 = 0,3/4 = 0,075 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S = (n·V/R^2/3)² = (0,013·0,6/0,1778)² = 0,001924

Відповідь

S = 0,001924

Це зниження на 1,924 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering