Гідравліка й гідротехніка: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 10 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Гідростатична сила

Тиск на глибині: p = ρgh
Сила тиску на вертикальну стінку: F = ρg·h_c·A
Центр тиску: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
Прямокутник: I_c = bH³/12

Нерозривність і Бернуллі

Нерозривність: A₁v₁ = A₂v₂
Бернуллі: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
Витрата: Q = A·v
Площа круга: A = πd²/4

Тертя в трубах і втрати напору

Число Рейнольдса: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
Режим течії: ламінарний при Re нижче ≈ 2000, турбулентний при Re вище ≈ 4000
Середня швидкість: V = Q/A, A = π·D²/4
Дарсі–Вейсбах: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
Місцеві втрати: h_m = ΣK·V²/(2g)
Типові значення K: вхід 0,5, вихід 1,0, коліно 90° ≈ 0,3
Перепад тиску: Δp = ρ·g·h_f
Два відкриті резервуари: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
Вільний вихід: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Насоси й потужність насосів

Гідравлічна потужність: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
Потужність на валу: P_shaft = P_h/η_pump
Електрична потужність: P_el = P_shaft/η_motor
Напір насоса: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
Втрати в системі: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Формула Маннінга: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
Витрата: Q = A·V
Гідравлічний радіус: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y
Трапеція (закладання укосу z:1): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
Кругла труба, повністю або наполовину заповнена: R = D/4
Потрібний ухил: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

2Задачі для практики

1.Гідростатична силаСередня

Вертикальний прямокутний затвор шириною 3 m розташований у стінці резервуара з рідиною (вода), його верхній край на 1,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 1,5 mH = 2,5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

2.Гідростатична силаСкладна

Вертикальний прямокутний затвор шириною 1 m розташований у стінці резервуара з рідиною (морська вода), його верхній край на 0,5 m нижче поверхні. Знайдіть рівнодійну гідростатичну силу F на затвор.

d = 0,5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9,81 m/s²

F = kN

3.Нерозривність і БернулліСередня

Вода тече через горизонтальний витратомір Вентурі з діаметром на вході 100 mm і діаметром горловини 60 mm. Тиск на вході на 23 kPa вищий, ніж у горловині. Нехтуючи втратами, знайдіть витрату Q.

d₁ = 100 mmd₂ = 60 mmp₁ − p₂ = 23 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

4.Нерозривність і БернулліСкладна

Горизонтальним витратоміром Вентурі (вхід 200 mm, горловина 100 mm) тече вода. Ртутний U-подібний манометр, під’єднаний між входом і горловиною, показує різницю рівнів 280 mm. Коефіцієнт витрати 0,97. Знайдіть витрату Q. Прийміть ρ = 1000 kg/m³ для води, 13 600 kg/m³ для ртуті та g = 9,81 m/s².

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmΔh = 280 mmC_d = 0,97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9,81 m/s²

Q = L/s

5.Тертя в трубах і втрати напоруСередня

Вода тече із середньою швидкістю 1,9 m/s трубою довжиною 500 m з внутрішнім діаметром 250 mm. Візьміть коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,025 і g = 9,81 m/s². Знайдіть втрати напору на тертя h_f.

V = 1,9 m/sL = 500 mD = 250 mmf = 0,025g = 9,81 m/s²

h_f = m

6.Тертя в трубах і втрати напоруСкладна

Труба довжиною 300 m з внутрішнім діаметром 250 mm (коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,022) виходить з відкритого резервуара й витікає вільним струменем в атмосферу. Місцеві втрати: вхід з гострою кромкою (K = 0,5), 3 колін (K = 0,3 кожне) і засувка (K = 10). Візьміть g = 9,81 m/s². На скільки H поверхня резервуара має бути вищою за вихід труби для витрати 50 L/s?

Q = 50 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0,022K_entrance = 0,5K_bend = 0,3 (×3)K_valve = 10

H = m

7.Насоси й потужність насосівСередня

Насос подає 15 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) проти напору 14 m. ККД насоса 85%, а ККД електродвигуна, що його приводить, — 94%. Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть електричну потужність P_el, яку споживає двигун, у kW.

Q = 15 L/sH = 14 mη_pump = 85%η_motor = 94%g = 9,81 m/s²

P_el = kW

8.Насоси й потужність насосівСкладна

Насос перекачує 40 L/s води (ρ = 1000 kg/m³) з відкритого нижнього резервуара у верхній бак, поверхня води в якому на 16 m вища. Труба довжиною 200 m має внутрішній діаметр 150 mm і коефіцієнт тертя Дарсі f = 0,015; сума коефіцієнтів місцевих втрат ΣK = 6 (з урахуванням входу й виходу). Візьміть g = 9,81 m/s². Знайдіть напір H, який має створити насос.

Q = 40 L/sΔz = 16 mL = 200 mD = 150 mmf = 0,015ΣK = 6

H = m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Середня

Прямокутний канал (гравій) має ширину 2 m. Вода тече рівномірно з глибиною 2 m. n Маннінга = 0,025, ухил дна S = 0,005. Знайдіть витрату Q у m³/s.

b = 2 my = 2 mn = 0,025S = 0,005

Q = m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)Складна

Прямокутний канал (цегляна кладка) шириною 2,5 m має пропускати 1,9 m³/s при рівномірній течії з глибиною 0,7 m. n Маннінга = 0,015. Знайдіть потрібний ухил дна S (у m/m).

Q = 1,9 m³/sb = 2,5 my = 0,7 mn = 0,015

S = m/m

3Розчини

1.Гідростатична сила

Відповідь: F = 202,3 kN

Гідростатична сила на плоску поверхню: F = ρ·g·y_c·A. Вона діє в центрі тиску, y_cp = y_c + I_c/(y_cA), що завжди лежить нижче центра ваги.

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 1,5 + 2,5/2 = 2,75 m

A = H·b = 2,5·3 = 7,5 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9,81·2,75·7,5 = 202,3 kN

Відповідь

F = 202,3 kN

2.Гідростатична сила

Відповідь: F = 30,17 kN

Глибина центра ваги і площа

y_c = d + H/2 = 0,5 + 2/2 = 1,5 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

Рівнодійна сила

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9,81·1,5·2 = 30,17 kN

Відповідь

F = 30,17 kN

3.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 20,55 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

Нерозривність

v₁ = v₂·(60/100)² = 0,36·v₂

Рівняння Бернуллі між входом і горловиною

Труба горизонтальна, тож змінюються лише тиск і швидкість.

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·23000/(1000·(1 − 0,1296))) = 7,27 m/s

v₁ = 2,617 m/s

Витрата

Q = A₂·v₂ = 0,002827·7,27 = 0,02055 m³/s = 20,55 L/s

Відповідь

Q = 20,55 L/s

4.Нерозривність і Бернуллі

Відповідь: Q = 65,46 L/s

Різниця тисків за манометром

Δp = (13600 − 1000)·9,81·0,28 = 34610 Pa

Швидкість у горловині

Рівняння нерозривності й рівняння Бернуллі разом дають ідеальну швидкість у горловині.

β = 100/200 = 0,5

v₂ = √(2·34610/(1000·(1 − 0,0625))) = 8,593 m/s

Дійсна витрата

Q = C_d·A₂·v₂ = 0,97·0,007854·8,593 = 0,06546 m³/s = 65,46 L/s

Відповідь

Q = 65,46 L/s

5.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: h_f = 9,2 m

Течія в трубах: число Рейнольдса Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ відрізняє ламінарну течію (Re нижче приблизно 2000) від турбулентної (вище приблизно 4000). Тертя вздовж труби спричиняє втрати напору за Дарсі–Вейсбахом h_f = f·(L/D)·V²/(2g). Фітинги, засувки, вхід і вихід додають місцеві втрати h_m = ΣK·V²/(2g). Між двома відкритими поверхнями резервуарів рівняння енергії дає Δz = h_f + h_m, з урахуванням втрат на виході K = 1.

Швидкісний напір

V²/(2g) = 1,9²/(2·9,81) = 0,184 m

Дарсі–Вейсбах

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0,025·(500/0,25)·1,9²/(2·9,81) = 9,2 m

Відповідь

h_f = 9,2 m

6.Тертя в трубах і втрати напору

Відповідь: H = 2,052 m

Швидкість

V = Q/A = 0,05/0,04909 = 1,019 m/s

V²/(2g) = 0,05288 m

Коефіцієнти втрат

f·L/D = 0,022·300/0,25 = 26,4

ΣK = 0,5 + 3·0,3 + 10 = 11,4

Рівняння енергії

Струмінь на виході ще має швидкісний напір; це не втрата, але його треба забезпечити.

H = (1 + 26,4 + 11,4)·0,05288 = 2,052 m

Відповідь

H = 2,052 m

7.Насоси й потужність насосів

Відповідь: P_el = 2,578 kW

Потужність насоса: потужність, передана воді, — це гідравлічна потужність P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp. Вал має передавати більше, бо насос має втрати: P_shaft = P_h/η_pump, а двигун споживає P_el = P_shaft/η_motor. Напір насоса H випливає з рівняння енергії: геометрична висота підйому + п’єзометричний напір + усі втрати на тертя й місцеві втрати.

Гідравлічна потужність

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9,81·0,015·14 = 2,06 kW

Потужність на валу

P_shaft = 2,06/0,85 = 2,424 kW

Електрична потужність

P_el = 2,424/0,94 = 2,578 kW

Відповідь

P_el = 2,578 kW

8.Насоси й потужність насосів

Відповідь: H = 22,79 m

Швидкість

V = Q/A = 0,04/0,01767 = 2,264 m/s

V²/(2g) = 0,2611 m

Втрати напору

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 6)·0,2611 = 6,79 m

Напір насоса

Обидві поверхні відкриті й практично нерухомі, тож члени з тиском і швидкістю зникають.

H = Δz + h_L = 16 + 6,79 = 22,79 m

Відповідь

H = 22,79 m

9.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: Q = 8,634 m³/s

Формула Маннінга (SI): для рівномірної течії у відкритому каналі V = (1/n)·R^2/3·S^1/2 і Q = A·V, де n — коефіцієнт шорсткості, S — ухил дна (m/m), R = A/P — гідравлічний радіус: площа живого перерізу, поділена на змочений периметр. У P враховують лише межу, що контактує з водою, а не вільну поверхню. Прямокутник: A = b·y, P = b + 2y. Трапеція з закладанням укосів z:1 (горизонталь:вертикаль): A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²). Кругла труба, заповнена повністю або наполовину, має R = D/4.

Геометрія

A = b·y = 2·2 = 4 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2 = 6 m

R = A/P = 0,6667 m

Швидкість

V = (1/0,025)·0,6667^2/3·0,005^1/2 = 2,158 m/s

Витрата

Q = A·V = 4·2,158 = 8,634 m³/s

Відповідь

Q = 8,634 m³/s

10.Течія у відкритих каналах (Маннінг)

Відповідь: S = 0,0007721 m/m

Геометрія

A = b·y = 2,5·0,7 = 1,75 m²

P = b + 2y = 2,5 + 2·0,7 = 3,9 m

R = A/P = 0,4487 m

Розв’яжіть формулу Маннінга щодо S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0,015·1,9/(1,75·0,5861) = 0,02779

S = 0,02779² = 0,0007721

Відповідь

S = 0,0007721

Це зниження на 0,7721 m на кілометр.

ExamProblems · examproblems.com/courses/hydraulic-engineering